Канонические формы моделей в пространстве состояний

Модели с простыми, характерными структурами рассматривают как канонические.

С учетом сказанного, делаем следующие обобщения. Модели с последовательно включёнными интеграторами и обратными связями, сходящимися на входе первого интегратора или исходящими с выхода последнего интегратора, называют присоединёнными (с присоединённым характеристическим полиномом в виде строки или столбца коэффициентов).

В управляемой присоединённой форме вход модели жёстко привязан к входу первого интегратора (в матрице B одна единица, остальные нули). В наблюдаемой присоединённой форме к выходу жёстко привязан выход последнего интегратора (в матрице C одна единица, остальные нули).

К одной из них (управляемой столбцевой) приводит команда

Wcom = canon(Wss, ‘com’).

От неё можно перейти к наблюдаемой строчной присоединённой форме транспонированием с точкой

Wcom.’ Понятие модального управления

Основной задачей при проектировании систем управления является отыскание законов управления, которые удовлетворяют определенному выбранному критерию оптимальности и обеспечивают заданные динамические свойства системы (устойчивость, быстродействие, колебательность и другие).

Динамические свойства зависят от собственных чисел матрицы А или, что то же самое от корней характеристического уравнения .

Цель модального управления состоит в том, чтобы изменить значения , а следовательно и элементы матрицы А введением в схему внешнего регулятора.

Регулятор, состоящий из набора безынерционных обратных связей по переменным вектора состояния и формирующий управление u(t)= -k*x(t), называют модальным за его способность изменить все моды (собственные движения) системы . Здесь – вектор-строка параметров обратной связи.

Модальный регулятор позволяет полностью заменить характеристический полином некоторым желаемым. Для линейных систем управления все критерии оптимальности трансформируются в типовые размещения корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции замкнутой системы). Количество критериев оптимальности для систем управления невелико.

Типовые оптимальные решения представляются эталонными моделями, одно из решений соответствует случаю, когда все корни действительные и равные.

Подставляя u(t) = -k*x(t) в уравнения состояния, получим

где – матрица коэффициентов при переменных замкнутой системы.

Для модели в строчной управляемой присоединённой канонической форме расчет строки K коэффициентов модального регулятора наиболее прост. Так как матрица B столбец из единицы и нулей, в матрице Az замкнутой модальным регулятором модели

Az = A – B*K

изменяется только первая строка. Из неё вычитается строка коэффициентов K модального регулятора. То есть в модели с регулятором сохраняется присоединённая каноническая форма с коэффициентами характеристического полинома в первой строке. Таким образом, расчёт матрицы K модального регулятора производится вычитанием из коэффициентов polg желаемого характеристического полинома коэффициентов polo фактического характеристического полинома.

K = polg – polo.

Действие модального регулятора можно интерпретировать как введение добавок в коэффициенты характеристического полинома (в обратные связи модели) для получения желаемых значений. Или как компенсацию имеющихся обратных связей и введение новых обратных связей, соответствующих желаемому полиному.

Для вычисления матрицы K модального регулятора для произвольной модели требуется задать желаемые полюса pg (корни характеристического полинома polg)

pg = roots(polg).

Затем использовать команду acker или place

K = acker(A, B, pg).