Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
А·А-1=А-1·А=Е.
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.
Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для существования матрицы А-1 необходимым и достаточным условием является требование |А|0.
Ищем А-1 – обратную матрицу для А (если она существует) по формуле:
Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
Систему линейных алгебраических уравнений решить тремя способами:
методом Гаусса;
по формулам Крамера;
средствами матричного исчисления.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных (решим им в матричном виде):
Выпишем расширенную матрицу системы и приведём её с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:
Вернёмся опять к системе:
Итак, получили, что х=3; у=1; z=1.
Метод Крамера – метод определителей.
Выпишем главный определитель системы;
главный определитель отличен от нуля, следовательно, существует единственное решение системы.
Воспользуемся формулами Крамера:
Итак, получили, что х=3; у=1; z=1.
Матричный метод - метод обратной матрицы:
пусть
.
Тогда система линейных уравнений примет вид матричного уравнения: AX=B.
Умножим слева обе части матричного уравнения на А-1 – обратную матрицу для А:
А-1AX=А-1B, где А-1A=Е – единичная матрица, то есть:
ЕX=А-1B, где ЕX=Х.
Итак: X=А-1B.
Ищем А-1 – обратную матрицу для А (если она существует) по формуле:
следовательно, обратная матрица существует.
Итак,
обратная матрица имеет вид:
Проверим правильность нахождения обратной матрицы:
Ищем решение по формуле: X=А-1B.
Итак, получили, что х=3; у=1; z=1.
Итак, все три метода привели к единому ответу, что: х=3; у=1; z=1.
Можно выполнить проверку:
Ответ: (3; 1; 1).
Тест 6. Матрицы. Определители. Системы.
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
