II семестр Вопросы к зкзамену по математике (сжд)

Раздел 1. Интегральное исчисление функции одной переменной.

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Простейшие методы интегрирования. Метод подстановки.

2. Интегрирование по частям и рациональных дробей.

3. Интегрирование тригонометрических дифференциалов, универсальная три­гонометрическая подстановка. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

4. Задачи, приводящие к определенному интегралу. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.

5. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов.

6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (1-го рода) и от неог­раниченных функций (2-го рода), их основные свойства.

7. Приложения определенного интеграла к задачам геометрии, механики, физики.

Раздел 2. Функции нескольких переменных.

1. Функции нескольких переменных. Область определения. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел, непрерывность функции нескольких переменных.

2. Частные производные функции нескольких переменных, их геометрический смысл. Полный дифференциал. Применение дифференциала в приближенных вы­числениях. Дифференцирование функций, заданных неявно.

3. Экстремумы функции двух переменных, необходимые и достаточные усло­вия существования экстремума. Условный экстремум. Наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области.

4. Касательная и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент функции.

Раздел 3. Дифференциальные уравнения и системы.

3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные урав­нения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков, понятия решения общего и частного. Уравнения, допускающие понижение порядка.

3. Линейно-зависимые и линейно-независимые функции. Определитель Врон­ского. Условия линейной зависимости и независимости системы функций. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.

3.5. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия. Методы решения.

Раздел 4. Кратные и криволинейные интегралы.

1. Общая схема построения интеграла по области. Геометрический и механический смысл. Основные свойства.

4.2. Вычисление кратных интегралов. Замена переменных в кратных интегралах.

4.3. Криволинейные интегралы.

4.4. Элементы векторного анализа.