Некоторые понятия теории случайных процессов

Пусть имеются результаты наблюдений некоторого явления на бесконечном интервале времени. Эти наблюдения нельзя описать конкретной математической зависимостью. Такие процессы называют случайной реализацией . Совокупность всех реализации образует случайный процесс:

- номер реализации.

Бесконечное множество таких реализаций называется ансамблем. Именно для ансамбля реализации, регистрируемых на бесконечном интервале времени, вводятся вероятностные характеристики, определяющие свойства случайного процесса.

Единичным элементом случайного процесса является величина , зарегистрированная в тый момент времени.

Как правило, в распоряжении исследователя имеется одна реализация случайного процесса конечной длины, которая называется выборкой. Выборка, состоящая из дискретных отсчетов, называется временным рядом.

Классификация случайных процессов

Непрерывный случайный процесс - это процесс, для которого случайные величины могут принимать любые значения в пределах заданной области возможных значений (медицинский сигнал с прорисовкой на бумаге чернилами).

Дискретный случайный процесс - это процесс, для которого случайные величины могут принимать только определенные значения и никакие другие (медицинский сигнал, прошедший через АЦП).

Смешанные случайные процессы- процессы, включающие в себя как непрерывные, так и дискретные составляющие.

Если реализация случайного процесса является случайной функцией времени, и ее будущие значения могут быть точно предсказаны на основе зарегистрированных ранее значений, то процесс называется квазидетерменированным.

Недетерминированным случайным процессом называется процесс, если предсказания будущих значений невозможны.

Некоторые стационарные случайные процессы обладают свойством, заключающимся в том, что каждый элемент ансамбля реализаций ведет себя в статистическом смысле также как и весь ансамбль. В этом случае все характеристики случайного процесса можно проанализировать путем исследования свойств только одной реализации. Такие процессы называются эргодическими.

Неэргодические процессы - это такие процессы, у которых по одному элементу ансамбля реализаций невозможно исследовать весь процесс.

Вычисление среднего значения и дисперсии

Среднее значение временного ряда (математическое ожидание) для дискретных временных рядов определяется по формуле:

Оценку дисперсии чаще всего производят по формуле:

Лекция 2. Корреляционный анализ. Спектральный анализ. Преобразования Фурье.

Корреляционный анализ

Смысл корреляционного анализа состоит в количественном измерении степени сходства различных сигналов. Имеются понятия автокорреляционной функции и взаимно корреляционной функции.

Автокорреляционная функция

Для определения автокорреляционной функции (АКФ) используется следующее соотношение:

(2.1)

АКФ показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией.

В некоторых случаях в выражении (2.1) для АКФ нормируют входные последовательности следующим образом:

, где (2.2)

исследуемый сигнал,

сигнал, сдвинутый на интервал времени ,

- мат. ожидание .

Формула для расчета АКФ дискретного сигнала:

, где , (2.3)

Т- интервал времени анализируемого участка сигнала.

Свойства АКФ:

1. АКФ является четной функцией ;

2. Абсолютное значение АКФ при любом не может превышать ее значение при , т.е. ее максимальное значение при .

3. Для АКФ справедливо соотношение:

Физически это соотношение объясняется тем, что случайные процессы имеют конечное время корреляции. Использование АКФ является наиболее мощным средством выделения гармонических колебаний в процессе.

Примеры АКФ:

Д анный вид АКФ говорит о том, что процесс не имеет ярко выраженной гармонической компоненты.

Свойственна процессам, которые сильно связаны между собой.

Если на АКФ имеются не сильно затухающие гармонические колебания, это значит, что процесс имеет постоянную гармоническую составляющую, период которой равен периоду колебания корреляционной функции.

Другие вариации графиков АКФ показывают степень наличия гармонической составляющей в процессе. Если график ближе к колебательному процессу, то в исследуемом сигнале имеются гармонические составляющие. Если ближе к экспоненциальной затухающей кривой, то гармонические составляющие слабо выражены.

Поскольку на основе визуальной оценки графика АКФ нельзя получить точную математическую оценку процесса, то были получены числовые величины характеризующие АКФ. К ним относятся:

1. Средняя частота (средний период) гармонических колебаний:

,

интервал времени между двумя положительными экстремумами на АКФ,

N- количество таких интервалов.

2. Периодичность процесса – это коэффициент отношения мощности периодической (гармонической) составляющей к мощности случайной составляющей АКФ. Данный коэффициент определяется следующим образом:

• Производится измерение амплитуд каждого колебания АКФ от пика до пика;

• Вычисляется средняя величина амплитуды колебания:

• Определяется половина средней амплитуды, которая считается как средняя амплитуда периодической составляющей АКФ:

• Определяется разница между максимальным значением АКФ (при ) и вычисленным средним значением амплитуды периодической составляющей:

Эта амплитуда считается амплитудой случайных составляющих.

• Коэффициент периодичности определяется как отношение:

3. Устойчивость периодики определяется по величине задержки, при которой амплитуда периодических колебаний на АКФ уменьшилась на 10% от максимальной.