Занятие 2. Вычисление пределов последовательностей с помощью свойств сходящихся, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей

Цель занятия:

1. использовать основные свойства сходящихся, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей для вычисления предела заданной последовательности;

2. рассмотреть примеры раскрытия неопределенностей и для последовательностей.

Краткие теоретические сведения

1. Основные теоремы о сходящихся последовательностях:

1. 

2. 

.

2. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях:

1. если последовательности и являются бесконечно малыми, то их сумма и их произведение также являются бесконечно малыми последовательностями, т.е.

2. если последовательность является бесконечно малой, а последовательность – ограниченной, то их произведение является бесконечно малой последовательностью, т.е.

3. если последовательность является бесконечно малой и , то последовательность является бесконечно большой, т.е.

3. Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях:

1. если последовательности и являются бесконечно большими, причем (т.е. числа u_n и v_n всегда одного знака), то их сумма также является бесконечно большой последовательностью, т.е.

одного знака

2. если и – две бесконечно большие последовательности, то их произведение также является бесконечно большой последовательностью, т.е.

3. если – бесконечно большая последовательность, – ограниченная последовательность, то их сумма есть бесконечно большая последовательность и их произведение тоже бесконечно большая последовательность, но при дополнительном условии, что ограниченная не является бесконечно малой последовательностью, т.е.

4. если – бесконечно большая последовательность, причем то последовательность является бесконечно малой, т.е.

Аудиторные задания

Задача 1

Вычислите следующие пределы последовательностей, используя основные теоремы о свойствах сходящихся последовательностей, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей (в процессе решения указывайте используемые свойства в каждом пределе):

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

Ответы: 1) 0,5; 2) 3; 3) ; 4) 0; 5) 1; 6) 0; 7) 4/3;

8) -1/2; 9) 1; 10) 0; 11) 0; 12) 0,5; 13) 0; 14) 0; 15) 2.

Задания для домашнего выполнения

Задача 1

Вычислить следующие пределы последовательностей, используя основные теоремы о свойствах сходящихся последовательностей, бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных последовательностей; перечислите использованные свойства в каждом пределе.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Ответы к задачам для домашнего выполнения

Задача 1

1) 15/17; 2) 0; 3) 4; 4) 0; 5) 0; 6) 1; 7) 1/2;

8) -1; 9) 0; 10) -1,5; 11) 0; 12) 1.