2. Основные теоремы теории вероятностей

Для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Косвенные методы используют основные теоремы теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. Прежде чем сформулировать основные теоремы, введем вспомо­гательные понятия о сумме событий и произведении событий. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. При определении ве­роятностей приходится часто представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствия этой теоремы: 1. Если события А₁, А₂, ... , А_n, образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Р(А_i) = 1

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А)+Р(Ā) = 1.

Отсюда следует, что противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу (частный случай следствия 1).

Теорема умножения вероятностей

Введем понятие о независимых и зависимых событиях. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В).

Теорема умножения вероятностей формулируется так: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Р(АВ)=Р(А) Р(А|B).

Отметим следствия, вытекающие из теоремы умножения. 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Отсюда следует определение независимых событий. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости двух событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А₁ А₂ ... А_n)=Р(А₁) Р(А₂|А₁) Р(Aз|A₁ A₂) x...x Р(A_n|A₁ A₂ ... A_n-1).

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

Р(А₁ А₂ ... А_n )=Р(А₁) Р(A₂) ... Р(A_n),

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим пример применения теоремы умножения вероятностей. Надежность сложного (составного) устройства может быть рассчитана, исходя из значений надежности отдельных его элементов и надежности различных комбинаций этих элементов. С точки зрения надежности различают последовательное и параллельное соединения. Смешанное соединение может быть представлено в виде комбинации последовательного и параллельного соединений. Для последовательного соединения элементов составного устройства надежность его оценивается произведением надежности всех последовательно соединенных элементов, т.е. когда события независимы, можно записать:

.

Поскольку Р_i < 1, то очевидно, что надежность составного устройства всегда ниже надежности своего самого ненадежного элемента и что, добавление каждого нового последовательно соединенного элемента снижает надежность всего устройства.

Например, изделие состоит из двух элементов А и В, обладающих одинаковой вероятностью безотказной работы, равной 0,9. В этом случае надежность изделия Р(АВ)=Р(А)×Р(В)=0,9×0,9=0,81.

При параллельном соединении элементов вероятность отказа устройства определяется той же теоремой умножения, вероятностей отказа каждого элемента. Вероятность отказа при этом:

.

Вероятность безотказной работы или другими словами надежность устройства:

.

Отсюда можно сделать следующие выводы. Во-первых, при параллельном соединении элементов устройства добавление каждого последующего элемента повышает надежность всего устройства, потому что всегда 1-P_i <1 и при умножении на (1-P_i) вычитаемая величина уменьшается. Во-вторых, надежность составного устройства всегда выше надежности самого надежного элемента из параллельно соединенных.

Итак, надежность систем при параллельном соединении элементов всегда выше, чем при их последовательном соединении. На практике это ценное свойство используется при создании надежного устройства использованием ненадежных элементов. В качестве примера определим надежность изделия с параллельным соединением элементов при дублировании основного элемента А резервным элементом В. В этом случае вероятность того, что хотя бы один из них будет работать, равна сумме вероятностей трех возможных благоприятных исходов:

а) ни элемент А, ни элемент В не выйдут из строя;

б) элемент А выйдет из строя, но элемент В будет работать;

в) элемент В выйдет из строя, но элемент А будет работать.

Математически это выражается следующим образом: Р(АВ)=Р(А)Р(В)+Р(В)[1-Р(А)]+Р(А)[1--Р(В)]. В случае, если вероятность безотказной работы элементов равна 0,9, то надежность изделия будет равна: Р(АВ)=0,9×0,9+0,9(1-0,9)+0,9(1-0,9)=0,99.

В данном примере надежность изделия, состоящего всего лишь из двух параллельно включенных элементов, оказалась на 10 % выше надежности каждого элемента в отдельности и более чем на 20 % выше надежности изделия при последовательном соединении элементов.

Рассмотрим другой пример. Имеется восемь параллельно соединенных аппаратов. Надежность каждого равна 0,4. Требуется определить надежность всей установки:

=1-(1-0,4)⁸ =0,983.

Если в систему вводятся добавочные (дублирующие) элементы, включаемые параллельно основным, то в этом случае говорят о резервировании. На практике оно осуществляется в двух основных модификациях: общее (резервирование устройства в целом) и раздельное (резервирование по элементам и узлам). При этом возможно постоянное включение резервных элементов и узлов или же их включение способом замещения (замена отказавших элементов, узлов). В общем, резервирование, конечно, усложняет оборудование, удорожает его обслуживание, содержание, ремонт и поэтому не всегда экономически выгодно. Оно неприменимо, если к проектируемому оборудованию предъявляются требования минимальных размеров, веса и потребляемой мощности.