1.3. Мгновенная мощность и энергия

Пусть через участок ЭЦ под воздействием напряжения u(t) проходит заряд q(t) . Совершаемая при этом элементарная работа, или поступающая на участок

цепи элементарная энергия dw(t), определится:

dw(t) = u(t) ∙ dq(t) = u(t) ∙ i(t)dt.

Единица её измерения – Джоуль (Дж).

Производная энергии по времени, то есть скорость поступления энергии в ЭЦ, представляет собой мгновенную мощность р(t) ЭЦ:

р(t) = = u(t) ∙ i(t).

Таким образом, мгновенная мощность р(t) равна произведению мгновенных значений напряжения u(t) и тока i(t).

Мгновенная мощность р(t) положительна при одинаковых знаках тока i(t) и напряжения u(t) и отрицательна при разных. Если р(t) > 0, то энергия поступает в приемник, если же р(t) < 0, то она возвращается из данного участка цепи обратно к источнику.

Мощность делят на активную, реактивную и полную. Единицы их измерения – ватт (Вт), вар (ВАР) и Вольт–Ампер (ВА) соответственно.

Энергия w, поступившая в приемник за промежуток времени от t₁ до t₂, определится:

w = .

Она всегда положительна.

1.4. Электрические схемы замещения

Реальные физические системы неудобно, а чаще всего нереально использовать для анализа происходящих в них процессов. Поэтому вместо них используют их модели – схемы замещения.

Электрическая схема замещения ЭЦ – это математическая модель реальной ЭЦ. Она приблизительно отображает реальные процессы в ЭЦ. Более того, для одной ЭЦ можно представить разные схемы замещения для разных условий работы ЭЦ.

Элементы схемы замещения – это идеализированные элементы, учитывающие определенные физические процессы реальной ЭЦ. Элементы схемы можно лишь изобразить на рисунке, они не существуют физически.

Элементы схемы делятся на активные и пассивные. К активным относятся источники энергии. Они бывают независимые (неуправляемые) и управляемые.

Неуправляемый источник напряжения (э.д.с.) – это идеализированный элемент схемы замещения , напряжение на полюсах которого не зависит от проходящего через него тока. Его графическое изображение имеет вид (рис. 1.2):

Рис. 1.2

Полюсное уравнение источника э.д.с. имеет вид u(t) = е(t). Вольтамперная характеристика источника э.д.с., не зависящего от времени, имеет вид (рис. 1.3):

Рис. 1.3

Единица измерения э.д.с та же, что у потенциала – Вольт (В).

Из характеристики следует, что внутреннее сопротивление R_ВН идеализированного источника э.д.с. равно нулю.

Если в дальнейшем нужно заменить источник э.д.с. его внутренним сопротивлением, то в месте включения источника включается коротко замкнутое соединение, то есть участок схемы будет иметь нулевое сопротивление (R_ВН = 0) (рис. 1.4):

Рис. 1.4

Измеряется сопротивление R в Омах (Ом).

Неуправляемый источник тока (в дальнейшем просто источник тока) – это идеализированный элемент схемы замещения, ток которого не зависит от напряжения на его полюсах. Графическое изображение источника тока имеет вид (рис. 1.5):

Рис. 1.5

Полюсное уравнение i₀(t) = i(t), здесь i₀(t) – ток источника тока.

Для неуправляемого источника тока, не зависящего от времени, справедливо равенство:

i(t) = i₀ = const.

Внутреннее сопротивление R_ВН идеализированного источника тока удовлетворяет условию R_ВН = ∞.

Следовательно, при замене источника тока его внутренним сопротивлением в схеме появляется обрыв (рис. 1.6):

Рис. 1.6

Существует четыре типа управляемых источников.

Источник напряжения (э.д.с.), управляемый напряжением (ИНУН) – идеализированный элемент схемы замещения, напряжение на полюсах которого не зависит от проходящего по нему тока, но зависит от управляющего им напряжения. Графическое изображение имеет вид (рис. 1.7):

Рис. 1.7

Полюсное уравнение ИНУН имеет вид:

u_e(t) = ℮(t) = k· u_У(t),

где u_У(t) – управляющее напряжение,

k – безразмерный коэффициент управления.

Источник напряжения (э.д.с.), управляемый током (ИНУТ) − идеализированный элемент схемы замещения , напряжение на полюсах которого не зависит от проходящего по нему тока, но зависит от управляющего им тока.

Графическое изображение имеет вид (рис. 1.8):

Рис. 1.8

Полюсное уравнение имеет вид:

u_e(t) = ℮(t) = k· i_У(t),

где i_У – управляющий ток.

k – коэффициент управления, имеющий размерность В/А.

Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) – идеализированный элемент схемы замещения , ток которого не зависит от напряжения на полюсах, но зависит от управляющего им напряжения (рис. 1.9):

Рис. 1.9

Полюсное уравнение ИТУН имеет вид:

i₀(t) = k· u_У(t),

где k – коэффициент управления, имеющий размерность А/В.

Источник тока, управляемый током (ИТУТ) – идеализированный элемент схемы замещения, ток которого не зависит от напряжения на его полюсах, но зависит от управляющего им тока (рис. 1.10):

Рис. 1.10

Полюсное уравнение ИТУТ имеет вид:

i₀(t) = k· i_У(t),

где k – безразмерный коэффициент управления.

Пассивные элементы не производят, а только потребляют энергию.

Активное сопротивление – идеализированный элемент схемы замещения, учитывающий только процессы преобразования электрической энергии в другие виды энергии, кроме энергии магнитного и электрического полей.

Обозначение в схемах (рис. 1.11) и полюсное уравнение имеют вид:

R

Рис. 1.11

Это закон Ома во временной области. Сопротивление R – это коэффициент пропорциональности. Измеряется в Омах (Ом).

Активная проводимость g – величина, обратная активному сопротивлению:

g = R^-1.

Её полюсное уравнение имеет вид:

i_R(t) = g · u_R(t).

Измеряется проводимость в Сименсах [См].

Индуктивность L – идеализированный элемент схемы замещения, приближенно отображающий процессы накопления энергии магнитного поля.

Обозначение в схемах (рис.1 .12) и полюсные уравнения имеют вид:

или

Рис. 1.12 .

Здесь i_L(0) – постоянная интегрирования, численно равная току индуктивности в момент времени t = 0.

Измеряется индуктивность L в Генри (Гн).

Емкость С – идеализированный элемент схемы замещения, приближенно учитывающий процесс накопления энергии электрического поля.

Обозначение в схемах (рис. 1.13) и полюсные уравнения имеют вид:

или

Рис. 1.13 .

Здесь u_С(0) – постоянная интегрирования, численно равная напряжению на емкости в момент времени t = 0.

Измеряется емкость С в Фарадах (Ф).

Соединение элементов схемы замещения выполняется также, как и в реальной ЭЦ. Однако в реальных устройствах соединительные провода обладают в определенной степени параметрами R, L и С, а в схемах замещения – нет. На любых частотах сопротивления проводов равны нулю.

Следует различать элементы ЭЦ и схем замещения.

Пример 1. Определить закон изменения напряжения на активном сопротивлении R u_R(t), если ток i_R(t) изменяется по закону i_R(t) = 2·ехр(–ωt), где ω – круговая частота, а R = 100 Ом.

Решение. Исходя из полюсного уравнения для активного сопротивления, полу- чим:

u_R(t) = R· i_R(t) = 100·2 ехр(–ωt) = 200 ехр(–ωt) В.

Пример 2. Изобразить график функции напряжения на индуктивности u_L(t), если график функции изменения тока i_L(t) имеет вид (рис. 1.14):

Рис. 1.14

При этом L = 1 Гн.

Решение. Функцию можно записать в виде

В соответствии с полюсным уравнением напряжение u_L(t) определится (рис. 1.15):

Рис. 1.15

Пример 3. Определить полюсное уравнение ИНУТ ℮(t) если известно, что ем- кость, через которую идет управляющий ток, равна 100 мкФ, а напря- жение на емкости изменяется по закону u_C(t) = 20Sin(100t). При этом k = 10.

Решение. В общем виде полюсное уравнение ИНУТ ℮(t) = k·i_У(t), но i_У(t) – это ток емкости, определяемый полюсным уравнением емкости . Решая полюсные уравнения совместно, получим:

℮(t) = k·i_У(t) = = 10·100·10^-6·20·100Cos100t = 2·Cos100t В =

= 2 Sin(100t + π/2) В.

Рассмотрим мощность и энергию, потребляемые каждым из пассивных элементов.

Мгновенная мощность активного сопротивления

р_R(t) = u_R(t) · (t) = = g · (t), р_R(t) > 0.

Нетрудно видеть, что р_R(t) – величина положительная.

Потребляемая энергия w(t) определяется формулой:

.

В любой момент времени t сопротивление может только потреблять энергию от источников и не может отдавать ее другим элементам схемы.

Мгновенная мощность емкости

р_С(t) = u_С(t) · (t) = .

Если u_С(t) >0 и > 0, то есть u_С(t) продолжает расти, то р_С(t) > 0 и энергия

поступает в емкость, то есть емкость заряжается. Если же u_С(t) >0, а ≤ 0, то р_С(t) < 0. Емкость разряжается, то есть отдает накопленную энергию во внешнюю цепь.

Энергия электрического поля w_C(t), запасенная емкостью в произвольный момент времени t, определится:

Энергия w_C(t) также положительна.

Мгновенная мощность w_L(t) индуктивности определится:

р_L(t) = u_L(t)· (t) = .

р_L(t) > 0, если i_L > 0 и > 0. р_L(t) > 0, если индуктивность потребляет энергию от остальной части схемы, р_L(t) < 0, если она отдает запасенную энергию.

Энергия w_L(t), запасенная в индуктивности, определяется:

.

Энергия w_L(t) также положительна.