Тема 15 расчет плоских кривых брусьев

Литература Г.С.Писаренко Справочник по сопротивлению материалов. глава 14 М.Н.Рудицин Справочное пособие по сопротивлению материалов. Глава 11

Вопросы: 1. Дифференциальные зависимости между М, Q и N в криволинейных стержнях. 2. Определение напряжений в брусьях большой кривизны. 3. Расчет на прочность. 4. Определение перемещений.

1. Дифференциальные зависимости между М, Q и N в криволинейных стержнях. Пусть на криволинейный стержень действует произвольная нагрузка (рис.35 ).

Рис.35

Выделим бесконечно малый элемент АВ сечениями из центра кривизны, угол между которыми составляет Длина дуги АВ равна dS , ОК = r – радиус кривизны. Проведем через центр кривизны и центр вырезанного элемента ось ок, и через точку К касательную (х) к криволинейной оси стержня, перпендикулярную к оси ок. Спроектируем на ось х приложенную к элементу нагрузку и усилия в сечениях.

(Q + dQ) + (N + dN) + Q - N = 0

Теперь возьмем сумму проекций на ось ок.

(Q + dQ) - (N + dN) - - q·АВ = 0

И сумму моментов, от действующих в плоскости чертежа сил, относительно точки А.

М – ( М + dМ) + Q·АС + q·АВ· = 0

Учитывая, что ≈ , а ≈ 1

АВ = 2 r ≈

АС = r ≈ r

ВС = r (1 - ) ≈ 0

И пренебрегая произведением дифференциалов, как величинами второго порядка малости, получаем Q· + dN =0 взяв производную по dQ - N· - q· r = 0 и разделив каждое уравнение на - dМ + Q· r = 0 получаем:

= - Q ; = N + q·r ; = Q·r Это и есть искомые дифференциальные уравнения.

Поскольку r = их можно записать в таком виде:

= - = q + Q

Из полученных выражений следует, что в тех сечениях, где N и М достигают экстремальных значений, там Q=0.

2. Определение напряжений в брусьях большой кривизны

К кривым брусьям относятся грузоподъемные крюки, проушины, звенья цепей, обода шкивов и колес, арки и т. п. Оси этих брусьев являются плоскими кривыми. В поперечных сечениях плоского криво­го бруса в общем случае действуют три внутренних силовых фактора М, Q и N, правило определения которых такое же, как и в брусьях с прямой осью. Величина внутренних усилий в общем виде зависит от кривизны стержней, а вид дифференциальных зависимостей у криволинейных и прямолинейных стержней отличается, следует предположить, что и распределение напряжений будет отличаться.

Рис.36

Представляют большой практический интерес кривые брусья, име­ющие продольную плоскость симметрии У (рис. 36, а, 6), в которой обыч­но действуют внешние нагрузки.

Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях кривых брусьев иное, чем в брусьях с прямой осью. Это различие при прочих равных условиях тем больше, чем больше кривизна бруса, ха­рактеризуемая отношением высоты поперечного сечения h кривого стержня к радиусу кривизны R его оси.

В связи с этим принято разли­чать: брусья малой кривизны, у которых h/R < 1/5 ,

и брусья большой кривизны, у которых h/R≥ 1/5 .

При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения с до­статочной степенью точности можно определять по формуле Навье, выведенной для балок с прямой осью. Максимальные напряжения, подсчитанные по формуле Навье для бруса прямоугольного сече­ния с отношением h/R = 1/15, отличаются на 2 % от напряжений, вычисленных по формулам для бруса большой кривизны; при h/R = 1/10 - на 3,5 %; при h/R = 1/5 — на 7 %.

Рассмотрим случай чистого изгиба бруса большой кривизны (h/R > 1/5) (рис. 36). Предполагаем, что радиус r_н нейтрального слоя неизвестен и не совпадает с радиусом R оси стержня. При выводе формулы для определения нормальных напряжений и брусе большой кривизны исходят из тех же гипотез, что и при выводе формулы Навье, т. е. пользуются гипотезой плоских сечений и гипо­тезой о том, что продольные волокна материала не давят одно на дру­гое. Выбираем направление осей сечения х и у, как показано на рис 37. (при этом ось х считается совпадающей с нейтральной линией, положение которой пока неизвестно). Направление у к центру кривизны принято за положительное.

Рис 37

Рассмотрим статическую сторону задачи и запишем условие равновесия применительно к элементу бруса (рис. 37, а), оставшемуся после удаления отсеченных частей. Для нашего случая, когда в сече­нии действует один силовой фактор М_х, будем иметь:

Из суммы проекций на нормаль к сечению = 0

Из суммы моментов относительно оси х = M_х

Из суммы моментов относительно оси y М_у= = 0

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Относительное удли­нение произвольно выделенного элементарного участка АВ, находящегося на расстоянии у от нейтральной линии (риг. 36, б) и получившего в результате деформации удлинение у·Δ , равно:

ε =

Где(r_н - у —длина элемента до деформации,

Из рассмотрения физической стороны задачи, определяемой законом Гука, имеем

σ = Е·ε = ·

Тогда условие суммы проекций на нормаль к сечению перепишем в виде:

= · Так как ≠ 0 То = 0

Далее, из суммы моментов относительно оси х находим = · = M_х

Преобразуем = = - = + = - S_х + 0

Здесь S_х – статический момент площади сечения относительно нейтральной оси S_х= А·(-е)

Окончательно так: = - е·А здесь е – расстояние между нейтральной и центральной осью. Т.к. площадь и интеграл положительны, то (е) всегда отрицательно, т.е. нейтральная ось всегда смещена от центра площади в сторону центра кривизны.

Тогда ·еА = М_х

Отсюда = подставив это выражение в уравнение физической стороны задачи получаем

σ =

Из анализа полученной формулы видно, что нормальные напряжения по высоте распределяются по гиперболическому закону (рис. 38, б). Абсолютные величины напряжений в крайних волокнах сечения бруса определятся по формулам : В точке 1(внутренней) σ₁ = В точке 2(внешней) σ₂ =

Рис. 38

где R₁ и R₂ — соответственно радиусы кривизны внутренних и внеш­них волокон кривого бруса; h₁ и h₂ — расстояния от нейтральной ли­нии до этих волокон.

Знак напряжения определяется по направле­нию изгибающего момента в сечении.

Формулы могут быть использованы, если известна входящая в эти формулы величина е или радиус нейтрального слоя г_н, поскольку е = R — г_н где R радиус слоя, в котором расположены центры тяжести сечения бруса. Определим радиус кривизны нейтрального слоя для прямоугольного сечения. Радиус г_н определим из ранее полученного уравнения = 0 Произведя замену переменных г = г_н — у или у = г_н — г, перепи­шем уравнение в следующем виде: = = 0 или г_н = 0 Отсюда г_н = Это общее выражение радиуса кривизны нейтрального слоя.

Так как для прямоугольного сечения А =h·b (h— высота сечения; Ь — ширина сечения); dА = b·dr, формула может быть записана в виде г_н = = =

Воспользовавшись рядом = = = [1+ ( + ( + ··· ] получим е = R — г_н = R —

В первом приближении е ≈ R( 1- ≈

Во втором приближении е ≈ [ 1+ ( ]

Аналогичным путем можно получить выра­жение е для других форм поперечного сечения.