Определение напряжений, обусловленных изгибом в задаче 1
Момент
сил
,
напряжения распределены по линейному
закону:
,
подставляя в формулу для момента получим
,
отсюда
.
Аналогично определяется и
.
В данной задаче момент
.
Эквивалентные напряжения вычисляются по гипотезе Хубера-Мизеса:
.
В нашем случае есть только два главных
напряжения
и
Задача 2 курсовой работы по курсу «Прочность КР» для группы АК2-101
«Термоупругость цилиндрической оболочки»
1.Теоретическая часть
1.1.Геометрически нелинейные уравнения термоупругости цилиндрической оболочки
Рассмотрим
цилиндрическую оболочку радиуса
,
длиной
и толщиной
.
На оболочку действуют распределенные
продольные
и поперечные
нагрузки (рис. 1). Оболочка подвергается
действию неравномерного нагрева, причем
температура
изменяется как по длине оболочки, так
и по толщине. Закон изменения температуры
по толщине принят линейным:
(1)
Здесь
- координата, отсчитываемая вдоль
образующей оболочки,
-
координата, отсчитываемая по нормали
к срединной поверхности с началом
отсчета на срединной поверхности
и
- параметры, определяющие изменение
температуры по длине и толщине оболочки.
Нагружение
оболочки распределенными по поверхности
силами
и
,
а так же распределение температур
предполагается осесимметричным.
Запишем основные уравнения строительной механики цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации.
Геометрические уравнения
Геометрические уравнения связывают деформации с перемещениями. В теории оболочек вначале определяются деформации срединной поверхности, а затем, в соответствии с принятыми гипотезами, определяют деформации по толщине. Распределение деформаций по толщине определим в рамках классической теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява.
Деформации срединной поверхности с учетом нелинейных слагаемых:
(2)
-
линейная деформация в направлении
образующей,
- в направлении нормали,
- изменение кривизны образующей.
Нелинейное слагаемое содержит деформация
.
Деформации слоя, отстоящего на расстояние от срединной поверхности:
(3)
и
линейные деформации в соответствующих
направлениях.
1.1.2. Физические уравнения.
Физические уравнения теории оболочек связывают деформации в срединной поверхности с внутренними силовыми факторами. При выводе их используются соотношения, связывающие напряжения с деформациями и интегральные соотношения, определяющие внутренние силовые факторы, через напряжения.
Для упругого тела, находящегося в температурном поле, связь между напряжениями и деформациями определяется соотношениями Дюамеля-Неймана, которые для нашего частного случая напряженно-деформированного состояния имеют вид:
(4)
После подстановки в (4) деформаций и , выраженных через деформации срединной поверхности (3) получим:
(5)
Связь внутренних силовых факторов с напряжениями с учетом распределения напряжений и температур по толщине (5):
(6)
Здесь
и
- продольная и окружная погонные силы,
и
- погонные изгибающие моменты в поперечных
и продольных сечениях, соответственно.
Подставим в (6) напряжения (5). При вычислении интегралов учтем, что
(7)
После подстановки и вычисления интегралов получим внутренние силовые факторы, выраженные через деформации срединной поверхности:
(8)
1.1.3.Уравнения равновесия.
Уравнения равновесия с удержанием нелинейных слагаемых во втором уравнении:
(9)
втрое уравнение можно переписать так же в виде:
(10)
1.1.4.Получение разрешающих уравнений.
Возможно два варианта записи разрешающих уравнений. В первом случае продольная сила считается известной. Это возможно, если условия закрепления в продольном направлении таковы, что образуют статически определимую систему связей. В этом случае продольная сила может быть определена путем интегрирования первого уравнения равновесия.
Если мы найдем , то систему уравнений можно линеаризовать. Нелинейные слагаемые содержит выражение для деформации . Исключим ее, считая погонную силу известной:
(11)
Погонная сила после исключения :
(12)
Подставляя во второе уравнение, равновесия запишем:
(13)
где
.
Перенося известные слагаемые в правую
часть, окончательно получим:
(14)
1.2.Решения разрешающего уравнения для частных случаев
Поделим
левую и правую часть уравнения (14) на
цилиндрическую жесткость
:
(15)
В качестве примеров рассмотрим некоторые частные случаи нагружения.
1.2.1.
Оболочка не нагружена в продольном
направлении и условия закрепления на
правом крае не ограничивают ее перемещений.
В этом случае
и
.
Правую часть уравнения (15) обозначим
как
:
(16)
Вместо (15) получим:
(17)
где
.
Общее решение неоднородного уравнения
складывается из общего решения однородного
уравнения
и частного решения неоднородного
уравнения
:
(18)
Найдем общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение
(19)
Корни
характеристического уравнения
,
где
,
действительно,
,
.
Найденным корням соответствует следующее
решение:
(20)
Частное
решение неоднородного уравнения зависит
от характера силовой и тепловой нагрузки.
Рассмотрим случай постоянной нагрузки
.
Тогда частное решение
(21)
И общее решение неоднородного уравнения
(22)
Константы
,
,
и
определяются из граничных условий. Для
случаев, когда длина оболочки
много больше ее радиуса
,
можно воспользоваться теорией краевого
эффекта. Частное решение (21) – это решение
по безмоментной теории. В безмоментной
зоне получаем следующие значения
перемещений, деформаций и напряжений:
;
;
;
;
.
(23)
Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения:
(24)
При использовании теории краевого эффекта граничные условия на правом и левом краях удовлетворяются по отдельности. Рассмотрим определение констант решения на левом крае при . Константы и полагаем равными нулю из условия ограниченности решении на бесконечности. В качестве примера левый край будем считать заделанным. Граничные условия в этом случае имеют вид:
;
и
;
(25)
Константы решения и находятся из решения системы уравнений:
(26)
откуда
(27)
Общее решение в зоне краевого эффекта у левого края оболочки:
(28)
Первая и вторая производные от решения:
(29)
Изменение
кривизны
.
Изгибающие моменты
.
Напряжения в зоне краевого эффекта
определяем по формуле (5), эквивалентные
напряжения по формуле (24).