Вектор Джонса

Поляризацию плоской волны можно достаточно хорошо представить с помощью комплексного вектора Джонса (его элементы задаются комплексными числами). В этом представлении плоская волна описывается вектором-столбцом, составленным из ее комплексных амплитуд

.

Вектор Джонса содержит полную информацию об амплитудах и фазах составляющих вектора электрического поля. Если нас интересует только состояние поляризации волны, то удобно пользоваться нормированным вектором Джонса, который удовлетворяет условию (звездочка – комплексное сопряжение). Таким образом, линейно поляризованная световая волна с данным направлением вектора электрического поля может быть представлена вектором Джонса

,

где  – азимутальный угол между направлением поляризации и осью x. Для частного случая =0, соответствующего линейно поляризованным волнам, векторы электрического поля колеблются вдоль осей координат. Векторы Джонса при этом имеют вид:

Световые волны с правой и левой поляризацией описываются векторами Джонса:

.

Эти две круговые поляризации являются взаимно ортогональными, в том смысле, что

Любая поляризация может быть представлена как суперпозиция двух взаимно ортогональных поляризаций и , или и . Базисные линейные поляризации и можно разложить на две круговые поляризации и . Эти разложения имеют вид

В общем случае, эллиптическую поляризацию можно представить следующим вектором Джонса:

Этот вектор Джонса отвечает некоторому состоянию поляризации, описываемому комплексным параметром . Метод определения поляризации волны посредством нахождения вектора Джонса (при вычисленных состояниях поляризации) наиболее часто используется при исследовании распространения плоских волн с произвольным состоянием поляризации через произвольную последовательность двулучепреломляющих элементов и поляризаторов [4,5].

Формализм матриц Джонса

Многие сложные двулучепреломляющие оптические системы, такие, как широкоугольные оптические модуляторы и интерференционные фильтры, основаны на прохождении света через последовательность поляризаторов и фазовых пластинок. Для расчета таких оптических систем используют формализм матриц Джонса. В этом случае состояние поляризации задается двукомпонентным вектором, а каждый оптический элемент описывается матрицей 22. Общая матрица полной системы дается перемножением этих матриц, а состояние поляризации распространяющегося света вычисляется как произведение вектора, определяющего поляризацию входного пучка, на общую матрицу.

Свет, распространяющийся в двулучепреломляющих кристаллах, представляет собой линейную суперпозицию двух независимых волн, каждая из которых характеризуется определенной фазовой скоростью и состоянием поляризации. Наиболее часто используются одноосные двулучепреломляющие кристаллы, такие как кальцит и кварц. В одноосных кристаллах независимые волны представляют собой обыкновенную и необыкновенную волны. Направления поляризации этих волн взаимно ортогональны и называются «медленной» и «быстрой» осями кристалла для данного направления распространения.

Рассмотрим фазовую пластинку, посредством которой возможно преобразование одного состояния поляризации светового пучка в любое другое состояние поляризации (рис.1.5).

Состояние поляризации падающего пучка описывается вектором Джонса , где V_x и V_y – два комплексных числа. Представим световую волну в виде линейной комбинации быстрой и медленной независимых волн кристалла:

, (1.30)

где V_s – медленная составляющая вектора поляризации, а V_f – быстрая составляющая. Из-за различия в фазовых скоростях одна составляющая будет задержана относительно другой. Эта задержка изменяет состояние поляризации входящего пучка. Пусть n_s и n_f – показатели преломления медленной и быстрой составляющих соответственно.

Рис. 1.5. Поляризационная пластина

Тогда состояние поляризации выходящего пучка в кристалле в sf системе дается выражением:

, (1.31)

где l – толщина пластинки,  – частота светового пучка. Фазовая задержка определяется посредством выражения

. (1.32)

Пусть  – среднее абсолютное изменение фазы: . Тогда вектор-столбец (3) можно записать через эти величины следующим образом:

. (1.33)

Вектор Джонса состояния поляризации выходящего пучка в системе xy получается с помощью обратного преобразования из кристаллической системы координат sf:

. (1.34)

Используя (1.30), (1.33) и (1.34), преобразование, осуществляемое задерживающей пластинкой, можно записать в виде:

,

где R() – матрица поворота, а W₀ – матрица Джонса для задерживающей пластинки, которые определяются соответственно выражениями:

, (1.35)

и

. (1.35)

Матица Джонса волновой пластинки является унитарной [4].

Интерференционные фильтры

Интерференционные фильтры играют важную роль во многих оптических системах, от которых требуется выделение чрезвычайно узкой полосы частот с широкой угловой расходимостью или способность настройки. В интерференционных фильтрах используются интерференция поляризованного света, которая требует при прохождении излучения через кристалл определенной задержки между составляющими света, поляризованными параллельно быстрой и медленной осям кристалла.

Рассмотрим принцип действия интерференционных фильтров на примере скрещенного фильтра Штольца, который представляет собой шесть последовательно расположенных пластинок, находящихся между скрещенными поляризаторами. Пропускающая ось переднего поляризатора параллельна оси x, а ось заднего поляризатора параллельна оси y. Пусть азимутальный угол отдельной пластины обозначен как . Тогда полная матрица Джонса при четном числе пластинок (N=2m) имеет вид:

. (1.36)

Подставляя (1.34) и (1.35) в (1.36) и выполняя матричное умножение, получим:

, (1.37)

где

(1.38)

где Г - фазовая задержка каждой пластинки (см. выражение (1.32)).

Падающая и выходящая из системы волны связаны между собой соотношением:

.

Выходящий пучок поляризован в направлении y, причем его амплитуда дается выражением:

.

Если падающий пучок линейно поляризован в направлении оси x, то коэффициент пропускания фильтра равен:

.

Из выражений (1.37) и (1.38) получаем:

,

где

.

Когда фазовая задержка каждой пластинки имеет значения Г=, 3, 5,…, т.е. каждая пластинка становится полуволновой, коэффициент пропускания равен T=sin²2N. При азимутальном угле =/4N коэффициент пропускания равен 100%.

С точки зрения распространения волн фильтр Штольца можно рассматривать как периодическую среду, в которой изменение азимутальных углов кристаллических осей создает периодическое возмущение по отношению к обеим независимым волнам и приводит к связи между быстрой и медленной независимыми волнами. Поскольку эти волны распространяются с различными фазовыми скоростями, полный обмен электромагнитной энергией возможен только в том случае, когда возмущение является периодическим, что позволяет поддерживать соотношения, необходимые для непрерывного обмена энергией между быстрой и медленной волнами и наоборот. Это служит иллюстрацией принципа фазового синхронизма за счет периодического возмущения. Сведения об основных свойствах периодических структур будут даны в разделе 1.7.