Лабораторна робота № 2

Тема: Функціональні моделі

Короткі теоретичні відомості.

Функціональні моделі описують процеси, які відбуваються в об’єкті моделювання. Якщо об’єктом моделювання є система керування, то функціональна модель відображає залежність стану системи від зовнішніх впливів. Функціональна модель системи складається з моделей вхідних та вихідних величин і оператора перетворення.

Модель статики може подаватися одним рівнянням, або системою рівнянь

У певних досить простих випадках система рівнянь може бути зведена до одного рівняння (композиція моделі) і навпаки (декомпозиція моделі).

Чутливістю системи називається похідна залежності стану системи по вхідному впливу .

Більшість процесів і систем управління вважаються лінійними. В лінійних системах вихідний стан (сигнал) є лінійною комбінацією вхідних впливів

де a_i і b – коефіцієнти.

Для лінійної системи

Модель динаміки системи може представлятися у різних ізоморфних та гомеоморфних формах:

• диференціальні рівняння;

• операторні рівняння;

• інтегральні рівняння;

• спектральні рівняння;

• передаточні функції;

• комплексні частотні передаточні функції;

• амплітудно-фазові частотні характеристики;

• перехідні функції і характеристики.

В загальному випадку передаточна функція W(р) має вигляд

Функцію W(j), яку отримують з передаточної функції при підстановці в неї р=j

називають частотною передаточною функцією. Частотна передаточна функція є комплексною функцією від дійсної змінної , яка називається частотою.

Функцію W(j) можна представити у вигляді

W(j)=U()+jV()=A()

де

А()=

k=0, 1, 2

Частотна форма моделі динаміки системи має вигляд

,

де - спектр вхідного сигналу,

- спектр вихідного сигналу.

Спектр сигналу отримується за допомогою перетворення Фурьє

.

Спектр періодичного сигналу

,

н априклад, спектр періодичного сигналу, зображеного на рис.1,

знаходиться так:

1. Описуємо сигнал функцією часу на періоді

2. Здійснюємо перетворення Фур’є

=

Знаходимо обидва інтеграли (другий інтеграл знаходимо методом інтегрування по частинах)

= - =

=

Найчастіше розглядаються лише модулі спектрів та АФЧХ. Тоді

.

Наприклад, отримаємо модуль знайденого вище спектру, для чого подамо комплексні експоненти у тригонометричному вигляді

= =

= =

= =

= =

=

Логарифмічне подання частотних характеристик має додаткові переваги, оскільки дозволяє отримати результат моделювання у простому графічному вигляді. Дійсно, логарифмуючи модель (3.20), отримуємо

,

або

.

Наприклад, знайдемо модуль передаточної функції

Тоді для попередньо знайденого модуля вхідного спектра

=

=

Порядок роботи:

1. Функціональні моделі систем у статичному режимі.

Система описується рівнянням перетворення сигналу у відповідності до варіанту:

1) 2) 3)

4) 5)

Знайти чутливість системи у діапазоні (1,5) і побудувати графіки

2. Функціональні моделі систем у динамічному режимі.

Система описується передаточною функцією

Коефіцієнти відповідно варіанту наведені у таблиці

	a3	a2	a1	a0	b3	b2	b1	b0
1	0	-2	0	1	2	1	-2	1
2	3	-1	2	0	2	1	-2	2
3	0	2	-1	1	1	1	-2	1
4	2	1	-2	1	1	1	-2	0
5	1	0	-1	0	0	1	-2	1

На вхід системи надходить періодичний сигнал, форма якого наведена на рисунках

Обчислити та побудувати графік спектру сигналу на виході системи

Склад звіту:

1. Титульний аркуш

2. Короткі теоретичні відомості

3. Результати розрахунків та графіки

4. Висновки

Контрольні запитання:

1. Сигнал та його основні характеристики

2. Дати визначення чутливості моделі

3. Що таке передаточна функція, перехідна та імпульсна перехідна характеристика?

4. Яка різниця між спектром і спектральною щільністю?