1. Основные положения математической cтатистики

Проведение исследований в какой-либо области знаний, как правило, начинается со сбора исходной информации о предмете исследования – статистических данных, которые в дальнейшем подлежат обработке с использованием методов теории вероятностей и математической статистики для углубленного анализа и получения обоснованных выводов о предмете исследования. Математическая статистика решает две основных задачи: во-первых, необходимо указать способ сбора и группировки статистических данных, полученных в результате наблюдений, и, во-вторых, разработать метод их анализа в зависимости от целей исследования. При решении последней задачи осуществляется проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения и величине параметров распределения, вид которого известен.

Для описания и анализа полученных статистических данных, как правило, применяется выборочный метод, сущность которого заключается в следующем. Пусть требуется изучить совокупность объектов относительно некоторого качественного или количественного признака. Например, если имеется партия ламп накаливания, то качественным признаком может служить стандартность лампы, а количественным — её срок службы. Можно произвести сплошное обследование каждой лампы, но, во-первых, это сопряжено со значительными затратами, а во-вторых, проверка срока службы всех ламп накаливания свела бы к нулю полезный выпуск этой продукции. Поэтому обычно из всей совокупности объектов случайно отбирают некоторое их количество и подвергают изучению.

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов (результатов измерений). Объём выборки обозначается n.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производиться выборка. Объём генеральной совокупности обозначается N.

Рассмотрим основные понятия математической статистики.

Случайной величиной (СВ) считается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Случайными величинами являются результаты измерений напряжения, активной и реактивной мощности, частоты, коэффициента мощности, количества повреждённого оборудования, погрешностей измерений и т.п. Случайные величины бывают дискретными и недискретными (непрерывными).

Дискретной называется СВ, множество возможных значений которой конечно или счётно.

Непрерывной называется СВ, множество значений которой нечётно и возможные значения СВ заполняют целиком некоторый интервал.

Для визуальной оценки распределения исследуемой СВ Х производят группировку исходных данных [2]. Если изучается дискретная СВ, то наблюдаемые значения располагаются в порядке возрастания и подсчитываются частоты или относительные частоты появления одинаковых значений СВ Х. В результате получается статистический ряд распределения СВ:

Таблица 1

– исход эксперимента			…
			…
			…

При этом должны выполняться соотношения:

. (1)

Если изучается непрерывная СВ Х, то группировка заключается в разбиении интервала наблюдаемых значений СВ на разрядов обычно равной длины : ; ; … и подсчёте частоты или относительной частоты попадания наблюдаемых значений СВ в соответствующие разряды.

Количество разрядов выбирается произвольно, но обычно не менее 5 и не более 15. При этом необходимо, чтобы в каждый разряд (кроме крайних) попало не менее 5 значений СВ. В результате получают статистический ряд распределения СВ Х вида :

Таблица 2

Разряды, Х			…
			…
			…

В этом случае также должны выполняться равенства (1).

Относительная частота

(1)

является приближённым значением вероятности и при увеличении числа наблюдений (объёма выборки n) стремится к его значению.

Теория вероятности оперирует понятием функции распределения – это функция F(x), определяющая вероятность того, что СВ Х в результате эксперимента примет значение, меньше некоторого фиксированного х:

. (3)

Свойства :

1. , ;

2. – неубывающая функция, т.е. при ;

3. – т.е. непрерывна слева.

С помощью функции распределения можно определить вероятность попадания СВ Х в некоторый интервал [4]:

. (4)

Функция распределения строится как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины. Это универсальный вид закона распределения.

Аналогом (приближённым значением) функции распределения в математической статистике является эмпирическая (статистическая) функция распределения – это функция , определяющая относительную частоту события, когда СВ Х не превышает заданного :

, (5)

, (6)

где – число значений СВ Х, меньших ; n – объём выборки.

Эмпирическая функция распределения используется в качестве оценки функции распределения и при достаточно большом объёме выборки мало отличается от неё. Функция обладает теми же свойствами, что и .

Графически эмпирическая функция распределения представляет собой ступенчатую разрывную функцию (рис.1), непрерывную слева; левее наименьшего значения и правее наибольшего значения .

Пример 1. Построить эмпирическую функцию распределения по статистическому распределению СВ отклонения напряжения , В, при оценке погрешности вольтметра:

Таблица 3

Наблюдаемое значение СВ , В	2	3	5
	0,75	0,2	0,05

Решение. Относительная частота события равна , следовательно:

График этой эмпирической функции распределения:

Рис. 1

При решении многих практических задач нет необходимости всегда строить математическую модель вероятностного эксперимента. Иногда достаточно иметь о случайной величине общее представление, знать характерные черты математической модели. Существенные особенности математической модели можно в сжатой форме выразить с помощью числовых характеристик. Основными из них являются математическое ожидание , дисперсия и среднеквадратическое отклонение . В математической статистике чаще используют не сами эти характеристики, а их приближённые значения – оценки.