12.3. Расчёт цепей с несинусоидальными электродвижущими силами и токами

Расчёт электрических цепей с несинусоидальными э.д.с. проводят в такой по­следовательности.

1. Несинусоидальная э.д.с. раскладывается в гармоничный ряд:

е = Е0 + e1 + e2 + e3 + … .

(12.10)

2. Источник несинусоидальной э.д.с. рассматривается как последовательное со­единение источника постоянной э.д.с. Е₀ и источников синусоидальных э.д.с. с разными частотами (рис.12.4).

3. Расчёт цепи ведётся для каждой гармоники отдельно:

Е0	I0
;	;
;	;
;	,
и т.д.

4. Используя принцип суперпозиции, находят общий несинусоидальный ток:

i = I0 + i1 + i2 + i3 + … .

(12.11)

Закон Ома для k-й гармоники записывается так:

.

(12.12)

Если мгновенное значение напряжения задано для k-й гармоники, то мгновен­ное значение тока может быть записано в общем виде:

;
;
.

При расчётах каждой из гармоник можно пользоваться символическим (ком­плексным) методом и строить векторные диаграммы для каждой из них отдельно. Но недопустимо производить геометрическое сложение векторов и комплексов напряжений с токами разных гармоник.

Пример 12.1

Найти мгновенное значение тока в цепи, если известно: u = 200 sinωt + 100 sin 3ωt, r = 6 Ом, L = 25,5 мГн, f = 50 Гц.

Решение.

1. Составляем расчётную схему цепи (рис.12.5).

2. Находим ток первой гармоники:

;

;

,

где

ωL = 314 ∙ 25,5 ∙ 10 ^{– 3} = 8 Ом;

;

.

1. Находим ток третьей гармоники:

;

;

,

где

;

.

2. Находим мгновенное значение несинусоидального тока:

.

12.4. Мощность и коэффициент мощности при несинусоидальных токах

Активная мощность периодического переменного тока какой-либо формы находится как среднее значение мощности за период:

.

(12.13)

Если мгновенные значения напряжения и тока записать в виде рядов Фурье, то в этом случае получим:

,

т.е.

.

(12.14)

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме ак­тивных мощностей отдельных гармоник.

По аналогии с синусоидальными токами вводится понятие полной мощности:

S = UI,

где

;

.

При изучении некоторых более простых свойств нелинейных электрических цепей несинусоидальные токи и напряжения заменяют эквивалентными синусои­дами так, что действующие значения эквивалентных напряжения и тока прини­мают равными действующим значениям несинусоидальных напряжения и тока. Угол сдвига фаз между эквивалентными синусоидальными напряжением и током выбирают таким, чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была равна активной мощности несинусоидального тока:

.

(12.15)

Пример 12.2

К участку электрической цепи приложено напряжение u = 100 + 282cosωt + 141sin3ωt + 70,7sin5ωt В, под действием которого проходит ток i = 33,3 + 75sin(ωt – 27º30′) + 16,9sin(3ωt – 30º20′) + 22sin(5ωt + 5º30′) А.

Необходимо заменить несинусоидальные напряжение и ток эквивалентными синусоидами.

Решение.

1. Действующее значение несинусоидального напряжения:

.

2. Действующее значение несинусоидального тока:

.

3. Активная мощность, которую потребляет участок цепи:

4. Эквивалентный коэффициент мощности и угол сдвига фаз:

.

5. Мгновенное значение эквивалентного напряжения:

u = 250sinωt = 352sinωt В.

6. Мгновенное значение эквивалентного тока:

i = 63,5sin(ωt – 27º) = 92sin(ωt – 27º) А.

По аналогии с активной мощностью несинусоидального тока вводим понятие реактивной мощности:

,

т.е.

.

(12.16)

Для несинусоидальных токов квадрат полной мощности не равен сумме квадратов активной и реактивной мощностей.

Величина называется мощностью искажения.