2. Нерекурсивні цифрові фільтри

Алгоритм обчислення. У виразах ЦФ використовують вагові коефіцієнти а_к. Вхідний дискретизований сигнал фільтра формується з неперервного вхідного сигналу x(t) за допомогою оцінки його вибірок й квантування [1]

(1.1)

де п - номер вибірки; к- індекс вагового коефіцієнта, який вказує порядок фільтра; Т_а - період дискретизації сигналу.

На виході фільтра формується вихідний сигнал

(2.2)

який пов’язаний з вхідними даними та ваговими коефіцієнтами фільтра такою залежністю [1]

(1.3)

Вираз (1.3) є рівнянням нерекурсивного несиметричного ЦФ N -го порядку.

Вагові коефіцієнти фільтра можуть індексуватися симетрично, тобто змінюватися від к - -N до к = N . У цьому випадку рівняння фільтра виз­начається так

(1.4)

Згідно з (1.4) нерекурсивний ЦФ є симетричним і має порядок 2N . Отже, кількість зміщених у часі вхідних сигналів характеризує ступінь або порядок фільтра. Для симетричного нерекурсивного фільтра шостого порядку рівняння матиме такий вигляд

Особливістю ЦФ є те, що вихідний сигнал у таких фільтрах можна от­римати лише після обчислення усіх вибірок вхідного сигналу х_п-к. Отже, обчислення у_п пов’язане з деякою затримкою, яка є особливо критичною для швидкодіючих систем з великою кількістю вибірок та використаними в них ЦФ високих порядків.

Зазначимо, що вагові коефіцієнти фільтра а_к індексують в інший спосіб, оскільки вхідні вибірки х_п-к не перемножуються з ваговими коефіцієнтами фільтра, а над їхньою послідовністю виконують операцію згортки (а_к . х_п-к).

З наведеного можна зробити висновок, що до нерекурсивних фільтрів належать фільтри, вихідний сигнал яких залежить лише від значень вхідного сигналу, на відміну від рекурсивних фільтрів, в яких вихідний сигнал залежить від попередніх значень вихідного сигналу. Нерекурсивний фільтр за відсутності зворотного зв’язку не збуджується і завжди є стабільним.

Як випливає з означення згортки, якщо нерекурсивний фільтр стиму­лювати одиничним імпульсним сигналом х_п = 1 при п = 0 і х_п = 0 при п≠ 0, то вагові коефіцієнти а_к фільтра з’являться як вихідний сигнал у_п . Після (2N +1) тактів вплив вхідного сигналу на вихідний зникає. Саме тому нерекурсивний фільтр називається ще фільтром зі скінченним імпульсним відгуком. Отже, нерекурсивний фільтр має скінченну пам’ять і у нього можуть бути дуже добрі фазові характеристики. Однак в нерекурсивному фільтрі переважно необхідна велика кількість членів, щоб отримати порівняно гострий зріз частотної характеристики. Натомість рекурсивний фільтр має безмежну пам’ять і здебільшого потребує меншої кількості членів. За такої економії членів фазові характеристики, як правило, є порівняно гіршими. Фільтри з гострим зрізом частотної характеристики значно легше проектувати, використовуючи рекурсивну структуру.

Щоб отримати передаточну дискретну функцію ЦФ, на його вхід подають дискретний періодичний сигнал такого вигляду

Згідно з (1.4) вихідний сигнал цф матиме вигляд

Оскільки передаточна функція ЦФ визначається як відношення вихідного сигналу до вхідного, то вона визначається так [26]

(1.5)

Якщо розглядати коефіцієнти фільтра як вибірки деякої часової функції а(t) , отримані в моменти часу kT_а, то рівняння (6.5) можна трактувати як дискретне перетворення Фур’є деякого сигналу а(t). Отже, передаточна функція ЦФ може бути одержана як ДПФ вагових коефіцієнтів фільтра.

Обчислення вагових коефіцієнтів нерекурсивного ФНЧ фільтра

У процесі розрахунку нерекурсивного фільтра виникає завдання обчис­лення його вагових коефіцієнтів а_к , які можуть бути визначені при наближенні дійсної передаточної функції до бажаної. Такий процес може бути реалізо­ваним, якщо апроксимація дійсної функції виконуватиметься за методом найменших квадратів Гаусса. Вираз при цьому матиме такий вигляд [1]

де - дійсна передаточна функція; бажана передаточна

функція, яка є передаточною функцією ідеального ФНЧ.

(1.6)

де ω_g - гранична частота.

Враховуючи, що для ряду (1.5) коефіцієнти обчислюються як

(1.7)

а також те, що інтеграл у виразі (1.7) можна розділити на два, в яких нижня межа дорівнює ω = 0, одержимо

(1.8)

Якщо - функція парна, тобто то з виразу

(1.8) отримаємо

(1.9)

Враховуючи вирази (1.6) і (1.9), можна визначити шукані коефіцієнти ФНЧ фільтра

(1.10)

Отже, для знаходження вагових коефіцієнтів цифрового ФНЧ необхідно знати порядок фільтра к, граничну частоту сигналу / та частоту дискретизації f_a.

Розмір порядку к ФНЧ фільтра ніби, з одного боку, покращує ступінь наближення дійсної передаточної функції до бажаної, однак, з іншого боку, передаточна функція апроксимуючого фільтра має постійні викиди, амплітуда яких не залежить від порядку фільтра. Зі збільшенням порядку к відхилення лише переміщаються у бік фронту імпульсу. Зменшити розмір викидів можна різними методами, зокрема використанням вікна з відповідною функціональ­ною залежністю або деякої згладжувальної усереднюючої функції [1].

Співвідношення між частотою дискретизації f_a і граничною частотою f_g сигналу для нерекурсивного ФНЧ фільтра повинно підтримуватися в межах