3) Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.

Случай известного среднего.

Пусть - независимая выборка из нормального распределения, где μ - известное среднее. Определим произвольное и построим α- доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ2.

Утверждение. Случайная величина

имеет распределение χ2(n). Пусть - α-процентиль этого распределения. Тогда имеем:

.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем:

.

Случай неизвестного среднего.

Пусть - независимая выборка из нормального распределения, где μ,σ2 - неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии σ2.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

,

где S - несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение χ2(n − 1). Тогда имеем:

.

После подстановки выражения для H и несложных алгебраических преобразований получаем:

4) Доверительная вероятность.

Наряду с точечными оценками параметров, представляющими из себя некоторую функцию от выборки, в статистике широкое использование находят интервальные оценки параметров. Интервальная оценка параметра указывает границы возможных значений выборочных оценок с некоторой заданной степенью достоверности. Поэтому интервальные оценки параметров позволяют установить точность и надежность точечных оценок. Границы возможных значений называются доверительными интервалами. Заданная степень достоверности называется доверительной вероятностью. Смысл интервальной оценки становится очевидным, если вспомнить, что любая точечная оценка (статистика) является случайной величиной и, когда g(x) непрерывная функция, а {x_i} случайные величины, характеризующиеся плотностями f(x_i), то полностью определяется плотностью вероятности g_n(U).

Предположим, что оцениваемый параметр неслучайное число. Ясно, что оценка тем точнее, чем меньше абсолютная величина / -U_n/ и, следовательно, точность оценки Q_n можно характеризовать неравенством

/ -U_n/

где - некоторое положительное число.

Так как случайная величина, то неравенство (3.33) имеет вероятностный смысл и важно знать - какова вероятность выполнения этого неравенства при фиксированном . Эта вероятность и является доверительной вероятностью P_дов. При практических расчетах чаще решают обратную задачу - по заданной доверительной вероятности находят такое , что

P {/ -U_n/< } =P_дов.

5) Проверка статистических гипотез.

Статистические гипотезы.

Пусть дана выборка из неизвестного совместного распределения . Тогда любое утверждение, касающееся природы называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.

Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где - семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу H₀. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза H₁, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Пример

Пусть дана независимая выборка из нормального распределения, где μ — неизвестный параметр. Тогда , где μ₀ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез.

1.Формулировка основной гипотезы H₀ и конкурирующей гипотезы H₁. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

2.Задание вероятности α, называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.

3.Расчёт статистики φ критерия такой, что:

-её величина зависит от исходной выборки ;

-по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы H0;

-сама статистика φ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. сама φ является случайной в силу случайности .

4.Построение критической области. Из области значений φ выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью.

Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику φ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H₀.

Виды критической области.

Выделяют три вида критических областей:

Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами , где находят из условий .

Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где x_α находят из условия P(φ < x_α) = α.

Правосторонняя критическая область определяется интервалом , где x_α находят из условия P(φ > x_α) = α.