5.5. Канонические представления случайных функций

5.5.1. Основные определения

Полученное выше разложение Карунена- Лоэва является весьма общими может быть использовано для анализа широкого класса случайных функций. Однако практическое применение его требует решение интегрального уравнения (5.16). В настоящем разделе мы рассмотрим разработанный советским ученым Б. С. Пугачевым метод канонических разложений, который, по существу, является удобным практическим способом построения разложения (5.16) [6].

В п. п. 5.3 было показано, что особенно удобным представлением случайной функции является ряд

(5.38)

где - некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю;

- некоторые случайные ортогональные функции, причем

всякое представление случайной функции вида (5.38) будем называть каноническим разложением случайной функции. Случайные величины { } будем называть коэффициентами канонического разложения, а функции { }-координатными функциями канонического разложения. Выразив случайную функцию каноническим разложением, получим, что

(5.39)

где - дисперсии случайных величин

5.5.2. Общие формулы для координатных функций

Пусть - произвольные некоррелированные случайные величины:

при

(5.40)

Найдем каноническое разложение случайной функции со случайными коэффициентами { },

Для этого следует представить в виде

где -неизвестные координаты функции, которые следует определить.

Для определения функции умножим обе части этого равенства на и усредним по ансамблю функций

(5.41)

Отсюда находим

(5.42)

Покажем, что выбор функций по формуле (5.42)дает наилучшее представление случайной функции рядом (5.38). для доказательства предположим, что - некоторые произвольные функции. Пусть

(5.43)

Вычислим . Имеем

= (5.44)

Подставляя (5.42) в (5.44) и учитывая (5.40), получим

=

Из последнего выражения видно, что при любом и любом величина будет наименьшей в случае, когда

5.5.3. Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек

Вид функции , который определен (5.42), приводит к мысли, что в качестве независимых случайных величин можно выбрать значения самой функции или их линейные комбинации. Зададим произвольную последовательность значений аргумента и определим случайные величины по формуле

(5.46)

где - некоторые неизвестные, но не случайные коэффициенты. Коэффициент корреляции определяется выражением

(5.47)

Из формулы (5.40) следует, что и не коррелированны и, следовательно, неизвестные коэффициенты должны удовлетворять условию

=0 при (5.48)

Обозначим: мерный вектор- столбец с элементами мерную матрицу с элементами . Выражение (5.48) может быть записано в матричных обозначениях, как Это выражение называется билинейной формой матрицы К в силу свойств корреляционной функции (см. п. п. 4.1) является симметрической и положительно определенной. Для таких матриц справедливы следующие свойства, которые мы приведем без доказательств [7].

Свойство 1. Все собственные числа симметрической матрицы с действительными элементами – действительные.

Свойство 2. Собственные векторы действительной симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.

Свойство 3. Пусть К- действительная симметрическая матрица и , где - все собственные значения матрицы. Тогда для любого вектора z справедливо неравенство

. (5.49)

Свойство 4.Любая симметрическая положительно определенная матрица К может быть представлена в виде ,где ортонормированные собственные векторы, а - собственные числа матрицы К. В частности, .

В силу перечисленных свойств матрицы К, ее собственных векторов и собственных чисел ясно, что в (5.46) коэффициенты можно выбрать так, что . В этом случае легко убедиться в следующем:

(5.50)

Следовательно, при таком выборе дисперсии случайных коэффициентов равны . Получим для координатной функции

(5.51)

В силу независимости коэффициентов легко разложить суммарную погрешность представления случайной функции в точках на компоненты. Имеем (5.52)

Возведем в квадрат выражение под знаком суммы:

(5.53)

Подставим во второй член (5.53) и получим:

(5.54)

Математическое ожидание от (5.54) равняется с учетом (5.51):

(5.55)

Возьмем теперь математическое ожидание от (5.53). Учитывая (5.55), получим

(5.56)

В последнем выражении по определению = и в силу свойства 4 = . Второй член (5.56) легко приводится к виду . Окончательно получим, используя ортонормированность векторов :

(5.57)

Таким образом, видно, погрешность представления случайной функции x(t) в дискретных точках полностью определяется собственными числами корреляционной матрицы К. В частности, = 0, если взять число функций, равных числу узлов, и > 0 в случае m < n. Равенство (5.57) позволяет проверить точность представления случайной функции рядом (5.43). Напомним , что речь идет о точности представления функции только в узлах . В общем случае погрешность (5.57) вычислить значительно сложнее [6].