4.3. Пересечение геометрических образов общего положения

Для решения позиционных задач на пересечение геометрических образов общего положения можно использовать дополнительные проекции или преобразования чертежа так, чтобы хотя бы один из пересекающихся образов стал проецирующим. Тогда в дополнительной проекции или на преобразованном чертеже вышеизложенным методом определяются искомые точки или линия пересечения, а затем их переносят в исходное положение. Для решения позиционных задач на пересечение геометрических образов общего положения удобно также использовать посредники частного положения (плоскости или поверхности), которые пересекают заданные геометрические образы по каким-то линиям, на пересечении этих линий получаются общие точки, принадлежащие обоим геометрическим образам. При решении задач на пересечение на пересечение прямой линии с плоскостью или поверхностью посредники проводятся через заданную прямую линию. Затем строится линия пересечения вспомогательной плоскости и заданной плоскости или поверхности, на пересечении этой линии и заданной прямой линии получаются искомые точки (или точка) пересечения. Для решения одной задачи можно использовать различные методы, но всегда желательно выбрать самый рациональный метод. Выбор метода решения конкретных задачи зависит от заданных геометрических образов, их взаимного расположения и относительно плоскостей проекций. При сравнении методов решений задач под рациональным методом понимается такой метод, который содержит меньшее количество операций алгоритма, более простые линии построения и более высокую точность построений. Графические построения на плоскости состоят из проведения линий через точки и получения точки на пересечении двух линий. При проведении прямой линии через две точки точность графических построений зависит от расстояния между точками, чем больше расстояние, тем выше точность. А при построении точки пересечения двух линий точность графических построений зависит от угла между линиями, самая высокая точность получается, когда угол между линиями ближе к прямому углу (90º), чем острее угол, тем ниже точность.

4.3.1. Пересечение прямой линии с плоскостью

Для решения позиционных задач на пересечение прямой линии с плоскостью общего положения можно использовать проецирующие посредники и различные способы преобразования чертежа (метод перемены плоскостей проекций, дополнительное проецирование на одну из основных плоскостей проекций или на тождественную плоскость, вращение или плоскопараллельное перемещение). Самым рациональным способом решения этой задачи является введение вспомогательной проецирующей плоскости частного положения. Рассмотрим пример пересечения прямой l с плоскостью α (АВС) (рис. 4.6). При решении этой задачи можно через прямую линию l провести вспомогательную фронтально проецирующую плоскость β. Строится линия пересечения k (12) заданной α (АВС) и вспомогательной β плоскостей (см. 4.2, рис. 4.2). Искомая точка К лежит на пересечении полученной линии k и заданной прямой линии l. Вначале определяем К₁ на пересечении l₁ и k₁. Далее по линии связи определяем К₂. Видимость определяется также по правилу конкурирующих точек, которые можно мысленно выделить, приложив линейку и сравнив их. Видимость определяется два раза: по отношению к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций. Решение этой задачи можно также трактовать, как реализация заданного плоскостью α (АВС) родственного соответствия. Предположим, что прямая линия l принадлежит заданной плоскости, тогда отнесем прямую линию l₂ к заданному соответствию и построим образ 1₁2₁ соответственный заданному. Заданная проекция прямой линии l₁ имеет с соответственным образом 1₁2₁общую точку К₁, которая и является горизонтальной проекцией искомой точки, так как принадлежит и прямой и плоскости.

Рис. 4.6. Пересечение прямой линии с плоскостью

Для решения этой задачи можно было бы провести горизонтально проецирующую плоскость. При этом все рассуждения и построения будут аналогичны предыдущим построениям.