2. Вычисление среднего и дисперсии биномиального и нормального законов распределения.

Нормального:

Пусть ξ - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и σ. Найдем M(ξ ) и D(ξ ). Так как , то по формуле находим

   Проведем в интеграле замену переменной, полагая , тогда    Следовательно,

, но

Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций

  Следовательно, .   Дисперсию находим по формуле

Итак,

Т аким образом, параметры означают: a - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение.

Биномиального:

М ат ожидание: Дисперсия:

3. Модель теории вероятностей. Вероятностное пространство.

При решении задач обычно создают модель.

Модель ТВ – пространство элементарных событий (полная группа несовместных событий).

Полная группа событий – с вероятностью 1 при каждом испытании появляется событие из указанной группы.

Несовместные события – появление одного события исключает появление других.

Вероятностная мера всего пространства = сумме вероятностных мер его элементов = 1.

Она распределяется по элементам пространства по закону распределения.

Модель события – любое подмножество пространства элементарных событий.

3. Характеристическая функция и её свойства.

У Ломакина вместо φ – Θ, а вместо f – ω.

Функция вещественной переменной t называется характеристической функцией случайной величины ξ.

(Характеристической функцией  случайной величины Х называется  функция . Эта функция представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины , являющейся функцией от случайной величины Х.)

Свойства:

1) Характеристическая функция всегда существует.

2 ) По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, плотность или таблица распределения). Т.е. если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают.

Формулы, с помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье». Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения, и она находится по формуле

3) Пусть существует момент порядка случайной величины ξ, т.е. . Тогда характеристическая функция непрерывно дифференцируема k раз, и её k-я производная в нуле связана с моментом порядка k равенством:

4) φ(0) = 1

5) φ(t) и φ(-t) – комплексно-сопряженные числа

6) Если f(ξ) – четн ф-ция, то φ(t) = ∫ f(ξ)·cos(t·ξ) dξ – действительная (мнимая часть = 0), и наоборот: если φ(t) – действит, то f(ξ) – четн

7) Если η = a ξ + b, и известна характеристич ф-ция φ_ξ(t), то φ_η(t) = ... = φ_ξ(t)

8) Если η = ξ₁ + ξ₂ (ξ₁ и ξ₂ независимы), то φ_η(t) = ... = φ_ξ1(t)·φ_ξ2(t).

4. События. Операции над событиями.

Событие - это такой результат эксперимента, который при реализации определенных условий может произойти или не произойти. Достоверное событие - событие, которое неизбежно произойдет. Невозможное событие – событие, которое не может произойти. Случайное событие – событие, которое может произойти, а может не произойти, и заранее результат не известен. События образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. События несовместные в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. События равновероятны, если есть основания считать, что ни одно из них не является объективно более возможным. Случаи – события, образующие полную группу событий, равновероятны и несовместны. Случай благоприятен событию, если его появление влечет за собой появление этого события.

События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Объединением или суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий Аk.

Пересечением или произведением событий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak.

Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит.

Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие. Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.