4.2.2. Алгоритмы расчета главного интегрального индекса для ранжи­рования состояния лесных массивов

Введем понятие центроида кластера, под которым будем понимать резуль­тат усреднения интегральных индексов тех покрытых лесом участков, которые попадают в данный конкретный кластер. Таким образом, центроид k-го класте­ра можно определить следующим образом:

где N_k - количество участков, оказавшихся в k-ом кластере в результате кластеризации. I_rп - r-ый интегральный индекс j-ro участка. „центроидом.

Таким образом, каждый кластер может быть представленсвоим центроидом. Эти центроиды были использованы нами для ранжирования полученных на предыдущем этапе кластеров.

Как показали исследования ряда авторов, весьма перспективным для ран­жирования является метод главных компонент (МГК), с помощью которого ин­тегральные индексы, полученные на предыдущем этапе, могут быть свернуты в единственную главную компоненту - суммарный интегральный индекс (СИИ). С помощью суммарного интегрального индекса легко можно проводить ранжи­рование альтернатив, в данном случае покрытых лесом участков по критерию качества природной среды. Таким образом, МГК может быть эффективно ис­пользован для ранжирования альтернатив только в том случае, когда для опи­сания альтернатив достаточно всего лишь одного интегрального индекса. В тех случаях, когда одного индекса недостаточно для моделирования альтернатив их ранжирование будет представлять собой гораздо более сложную задачу.

В методе главных компонент коррелированные между собой базисные пе­ременные преобразовываются с помощью линейных комбинаций в базис новых некоррелированных переменных. Построение новых переменных осуществля­ется последовательно одна за другой. На первом этапе строится линейная ком­бинация исходных переменных, обладающая максимальной дисперсией. Затем находится новая линейная комбинация переменных ортогональная первому вектору и т.д.

Процедура построения главных компонент основана на диагонализации ковариационной или корреляционной квадратной матрицы размером тх т , где m - число интегральных индексов (размер пространства интегральных индек­сов), полученных на этапе доза-эффект анализа.

Каждая из этих матриц может быть представлена как произведение исход­ной матрицы на транспонированную:

где Р исходная матрица, Р' - транспонированная матрица, к - коэффициент пропорциональности.

В МГК применяют в основном три технологии, в которых в качестве Р ис­пользуются: просто исходные матрицы, центрированные исходные матрицы (М - ковариационная матрица) и нормализованные исходные матрицы (М - корре­ляционная матрица). Наиболее часто применяется МГК с корреляционной мат­рицей. Преимущество корреляционного метода по сравнению с другими за­ключается в том, что в нем автоматически производится как центрирование, так и нормализация переменных, что приводит их к одному масштабу.

При расчете корреляционной матрицы удобно предварительно вычислить матрицу ковариаций, которая рассчитывается по следующей формуле:

(4.29)

Где S^s_j - дисперсия интегрального индекса I_j где m - число интегральных индексов, S²_jk - коэффициенты ковариаций интегральных индексов I_j и I_k, -, которыe рассчитываются по следующей формуле:

где n - количество альтернатив.

После нахождения ковариационной матрицы корреляционная матрица рас­считывается по следующей формуле:

где D - диагональная матрица стандартных отклонений следующего вида:

Корреляционная матрица R как произведение транспонированной и исход­ной матриц (см. формулу (4.28)) является симметричной и поэтому может быть приведена к диагональному виду с помощью следующего преобразования:

где К - диагональная матрица, на главной диагонали которой находятся , к_1…. к„ - упорядоченные по величине собственные значения матрицы М:

U - ортогональная матрица, столбцы которой представляют собой собст­венные векторы матрицы М.

Элементы собственных векторов, входящие в матрицу U, представляют собой коэффициенты линейных комбинаций, являющихся главными компонен­тами. Таким образом, для получения главных компонент следует умножить строки транспонированной матрицы U' на вектор-столбец интегральных индекcов:

В случае использования ковариационной матрицы интегральные индексы следует предварительно центрировать, а для корреляционной матрицы - норма­лизовать. Окончательно главные компоненты для ковариационной и корреля­ционной матриц вычисляются следующим образом:

где I -{l_vI₂ ,...I_m} - вектор-столбец интегральных индексов, J = { l_vI₂ ,...I_n} - вектор-столбец средних значений интегральных индексов,

' среднее значение k-го интегрального индекса,

U' - матрица с размером m x m, строки которой содержат коэффициенты главных компонент,

z - вектор-столбец, элементы которого являются нормализованными и цен­трированными главными компонентами:

Описанную выше процедуру МГК, имеет смысл применять только, если можно ограничиться одной первой главной компонентой. Тогда эту компоненту можно использовать для ранжирования. В тех случаях, когда одной компонен­ты оказывается недостаточно для представления альтернатив, следует исполь­зовать другие критерии.

На предыдущем этапе была проведена группировка альтернатив (в контек­сте излагаемого материала - покрытых лесом участков в районе металлургиче­ских предприятий) в отдельные кластеры. Каждая из полученных группировок альтернатив была представлена центроидом. Таким образом, проблему ранжи­рования кластеров можно свести к задаче ранжирования центроидов, используя при этом трансформацию исходных критериев в главную компоненту, полу­ченную на этапе применения МГК. В наших исследованиях МГК применялся не к центроидам, а непосредственно к исходной матрице интегральных индек­сов. В результате была получена главная компонента, с помощью которой были построены линейные комбинации центроидов, которые в нашей работе получи--тй название интегральных центроидов. Далее найденные интегральные цен­троиды были использованы для ранжирования рассчитанных ранее кластеров.

В ряде работ при использовании МГК применяют дополнительные норма­лизации собственных векторов. Так нормализация следующего вида:

позволяет выразить главные компоненты в тех же единицах, что и исход­ные переменные. При этом дисперсии новых нормализованных главных компо­нент останутся ортогональными и будут равны собственным значениям.

Блок-схема процедуры кластеризации и ранжирования покрытых лесом участков в районе металлургических производств представлена на рис.4.6.