3. Распределение (хи-квадрат).

Пусть – независимые нормированные нормально распределенные случайные величины (то есть у каждой из них = 0 и ). Тогда сумма квадратов этих величин

(13)

является случайной величиной, распределенной по закону (хи-квадрат) с степенями свободы. Понятие «число степеней свободы» заимствовано из физики, где под ним понимается число независимых координат, определяющих положение тел в процессе их движения. В частности, при движении по прямой точка обладает одной степенью свободы; при свободном движении по плоскости – двумя степенями свободы; при свободном движении в пространстве – тремя степенями свободы. Если же движение точки несвободно – например, она может двигаться по плоскости лишь вдоль какой-то линии с уравнением , то ее положение на плоскости полностью определяется лишь одной координатой х, ибо другая координата y уже не является независимой, так как выражается через х. В этом случае у движущейся по плоскости точки будет не две, а одна степень свободы. И так далее. Возвращаясь к выражению (13) для случайной величины , видим, что в ее образовании участвуют независимых величин . Поэтому у нее и степеней свободы.

Очевидно, что величина может принимать лишь неотрицательные значения . Доказано, что плотность вероятности случайной величины с степенями свободы имеет вид

(14)

где - быстро убывающие с номером числовые коэффициенты, выражения которых ввиду их сложности не приводим. При этом график плотности вероятности для =1, =2 и >2 в принципе имеет вид:

Также доказано, что

(15)

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

4. Показательное распределение. Функция надежности.

Пусть некоторый природный или искусственный объект начинает функционировать в момент времени t=0. В качестве такого объекта можно, например, рассматривать живое существо с момента его рождения или с любого другого этапного для него момента; работающий механизм или элемент этого механизма с момента его включения, и т.д.

Пусть Т – время безаварийного функционирования этого объекта (для живого существа это может быть время до утраты пригодности его к тому или иному виду деятельности или до его смерти; для механизма это может быть время до первой его поломки или до окончательного выхода его из строя, и т.д.). Согласно своего смысла, Т – непрерывная случайная величина, возможные значения t которой могут быть, в принципе, любыми неотрицательными числами: .

Поставим теперь естественный вопрос: какова вероятность того, что для данного объекта будет иметь место неравенство , где t – некоторое заданное время ? То есть поставим вопрос: какова вероятность того, что за время t функционирующий объект не выйдет из строя? Вероятность эту обозначим символом R(t) и назовем функцией надежности:

(22)

Очевидно, что для любого функционирующего объекта указанная вероятность R(t) сохранения своей работоспособности в течение времени t будет убывать с возрастанием t, начиная с 1 при t=0, и стремиться к нулю при . Более того, как показали многочисленные практические исследования самых разнообразных объектов (технических устройств; природных образований; живых организмов и т.д.) это убывание функции надежности R(t) осуществляется приблизительно по показательному (экспоненциальному) закону

(23)

Т акое поведение функции надежности R(t) называют еще показательным законом надежности (рис. 6).

Выясним смысл параметра в случае показательного закона надежности. Для этого найдем плотность вероятности и основные числовые характеристики ( ) случайной величины Т.

Начнем с нахождения . Ее будем искать, исходя из определения плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Пусть t – некоторое фиксированное значение величины Т (t – момент выхода объекта из строя). Окружим это значение некоторым частичным промежутком [ ] длиной и рассмотрим вероятность того, что случайная величина Т примет значение внутри этого промежутка. То есть рассмотрим вероятность того, что объект выйдет из строя в какой-то момент времени, принадлежащий этому промежутку (рис. 7).

С

t

огласно смысла функции надежности, R(t₁) и R(t₂) – это вероятности того, что объект выйдет из строя после моментов времени t₁ и t₂ соответственно (рис. 8). Вероятность R(t₁) больше вероятности R(t₂) на , откуда следует:

(24)

Тогда по определению плотности вероятности получаем:

Итак,

(25)

– плотность вероятности случайной величины Т, представляющей собой время безаварийного функционирования объекта, имеющего показательный закон надежности. График этой плотности вероятности изображен на рис.9. Кстати, распределение указанной случайной величины Т носит название показательного распределения.

Зная плотность вероятности , можем теперь найти и числовые характеристики ( ) случайной величины Т :

;

(26)

Здесь t_ср – среднее время безаварийного функционирования объекта. Через t_ср можно выразить и функцию надежности (23) случайной величины Т, и плотность ее вероятности (25):

(27)

В заключение отметим следующий важный факт: вероятность безаварийной работы любого объекта на интервале времени длительности t, если время Т безаварийной работы этого объекта имеет показательное распределение, не зависит от начала рассматриваемого интервала, а зависит только от его длительности t.

Для доказательства этого утверждения введем следующие события (рис. 10):

А – безотказное функционирование объекта на интервале времени ( );

В – безотказное функционирование объекта на интервале времени ( );

С – безотказное функционирование объекта на интервале времени ( ):

Очевидно, что С=АВ, откуда следует:

(28)

Таким образом

(29)

где R(t) – вероятность безотказного функционирования объекта на интервале времени ( ), а – вероятность безотказного функционирования объекта на интервале времени ( ). Эти вероятности равны, что и доказывает заявленный выше факт.

Отметим, что случайные величины, имеющие показательное распределение (показательный закон надежности), тесно связаны с событиями простейшего (пуассоновского) потока. Действительно, вероятность того, что за время t не появится ни одного из событий простейшего потока, найдется по формуле:

(30)

Здесь - интенсивность пуассоновского потока (среднее число событий потока, появляющихся за единицу времени). Тогда – среднее время, проходящее между появлениями отдельных событий потока. С учетом этого вероятность (30) примет вид:

(4.31)

Но точно такой же вид, согласно (27), имеет показательная функция надежности R(t), определяющая вероятность безаварийной работы объекта в течение времени t. Таким образом, время Т безаварийной работы объекта при показательном законе надежности и время Т, проходящее между соседними событиями простейшего потока, имеют одно и то же распределение. А именно, показательное распределение с плотностью вероятности , описываемой формулой (27).

Пример 3. Среднее время безотказной работы некоторого устройства, имеющего показательный закон надежности, равно 50 часам. Определить вероятность того, что устройство безотказно проработает 100 часов.

Решение. Пусть Т – время безотказной работы устройства. Так как среднее значение этого времени t_ср=50 часам, то функция надежности R(t) для рассматриваемого устройства имеет, согласно (27), вид:

(t – в часах, t≥0)

Тогда, согласно (22), получаем искомую вероятность: