Решение типового варианта
Задача
1. Задан закон распределения дискретной
случайно величины Z
=
в виде таблицы:
Х\Y |
1 |
2 |
4 |
–2 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
–1 |
0.0 |
0.1 |
0.1 |
0 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
Решение.
1. По формулам
находим маргинальные распределения
случайных величин X
и Y,
результаты записываем в исходную таблицу
последним столбцом и последней строкой:
X\ Y |
1 |
2 |
4 |
|
–2 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
0.4 |
–1 |
0.0 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
0.4 |
|
0.3 |
0.3 |
0.4 |
1.0 |
Правильность
полученного результата определяется
соотношениями:
.
2.
.
,
.
3.
.
.
.
.
Случайные
величины являются зависимыми, так
например,
.
4.
Условное распределение для X|Y
получаем из исходной таблицы распределения
вероятностей с помощью формул
,
где
.
Получаем результат:
X |
Y |
||
1 |
2 |
4 |
|
–2 |
|
|
|
–1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
5.
,
следовательно, имеем:
Аналогично
Представим результаты вычислений таблицей:
Y |
1 |
2 |
4 |
|
|
–1.0 |
|
|
|
|
|
Задача
2. Пусть
.
Решение. 1. Переменную A находим из основного свойства плотности вероятности
.
Следовательно,
.
2.
.
3.
Проверка:
.
.
Проверка:
.
4.
.
,
.
5.
.
.
6.
7.
8.
Поскольку обе линии регрессии линейны,
корреляционные отношения можно не
вычислять. Однако в целях приобретения
навыков работы с формулами соответствующие
выкладки полезно выполнить. Покажем их
на примере
.
.
,
.
Как видим, результат совпадает с квадратом коэффициента корреляции.
Задача
3. Случайная величина
.
Решение.
По условию
,
и нулю
в противном случае. Функция
на заданном промежутке
непрерывна,
кусочно-монотонна, поэтому уравнение
имеет два решения
.
Получаем
,
используя формулу
.
Проверка.
.
или
Как
видно, вычисление MY
одинаково несложно по любой из этих
формул.
.
Использование для вычисления DY
формулы
явно нецелесообразно.
Задача
4. Пусть
.
Решение. Для нахождения закона распределения случайной величины Z выполняем следующие действия. Прежде всего, находим совместную плотность распределения случайных величин X и Z:
.
Теперь
можно найти
.
1.
Для случайной величины X
MX
=
,
DX=
(известные результаты). Для случайной
величины Z
числовые характеристики вычисляем:
,
.
2.
.
.
3.
,
,
.
4. По тем же соображениям, что и в п. 8 задачи 3, вычислим одно из корреляционных отношений, несмотря на то, что их величины уже известны.
как и следовало ожидать.