Для определения светового поля в точке р фронт волны ф(t)

Рис. 6.3

мысленно разобьем на кольцевые участки, построенные так, чтобы расстояния от краев каждого участка до точки наблюдения Р отличались на  / 2: М_mР – М_{m – 1}Р =  / 2, где М_m – граница m-го кольцевого участка, m = 1, 2, 3, … С этой целью построим концентрические сферы с центром в точке Р и с радиусами, равными

b, b +  / 2, b + 2( / 2), … , b + m( / 2).

Линии пересечении этих сфер с фронтом волны будут границами указанных кольцевых участков, а сами эти участки – зонами Френеля в рассматриваемом случае сферического волнового фронта.

Найдем радиус _m внешней границы m-ой зоны Френеля. Так как расстояние М_mР от внешнего края m-ой зоны до точки Р равно b + m  / 2, то, как видно из рис. 8.3, а,

_m² = a² – (а – h)² = (b + m  / 2)² – (b + h_m)².

Раскрыв скобки, получим

_m² = 2ah_m – h_m² = mbλ + m²(λ / 2)² – 2bh_m – h_m²

Пренебрегая слагаемым h_m² (так как h_m << 2a, 2b), а также слагаемым m²(λ / 2)² (при числе зон m << 4b / λ), получим h_m = = bm /  2(a + b) и тогда, подставив это в соотношение _m² = = 2ah_m, для радиуса внешней границы m – ой зоны Френеля будем иметь

, (7.1)

где m = 1, 2, 3,…

Так как волны, приходящие в точку Р от всех зон, когерентны между собой, то результирующая амплитуда светового поля в точке Р будет равна сумме амплитуд E_m (m = 1, 2, 3…), создаваемых каждой из зон в отдельности. При этом поскольку колебания, возбуждаемые в точке Р двумя соседними зонами, находятся в противофазе, то амплитуда поля, создаваемая каждой последующей зоной, будет отличаться от амплитуды поля создаваемой предыдущей зоной не только величиной, но и фазовым множителем т. е. знаком. Следовательно, результирующая амплитуда в точке Р будет представляться знакопеременным рядом

(6.2)

а) б)

Рис. 6.4

Здесь суммирование по m есть суммирование по всем зонам. Вследствие увеличения расстояния r_m от центра m-ой зоны до точки наблюдения Р и угла между нормалью к зоне и направлением на точку Р величина амплитуд Е монотонно убывает с ростом номера зоны m, так что Е_m  Е_{m - 1} для любых m = 2, 3, 4, … В качестве допустимого приближения можно принять, что амплитуда колебания Е_m от каждой m-ой зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон:

, (7.3)

.где m = 2, 3, 4, …

В случае свободного распространения волны число членов ряда (7.2) не ограничено, поэтому при полностью открытом фронте

В силу соотношения (8.3) каждая скобка в этом выражении равна нулю, поэтому

Е(Р) = Е₁. (7.4)

Как видим, амплитуда светового поля в точке Р от источника при полностью открытом волновом фронте равна половине амплитуды первой зоны Френеля. Таким образом, вследствие интерференции вторичных волн Гюйгенса действие всего фронта сводится к действию половины первой (центральной) зоны Френеля.

В рассматриваемом случае фронт волны не ограничен, поэтому дифракция света отсутствует. Свет от источника S к точке Р распространяется прямолинейно. Принцип Гюйгенса – Френеля этот факт объясняет тем, что при полностью открытом фронте волны в точке Р интерферируют вторичные волны от всех зон Френеля и результат их интерференции соответствует прямолинейному распространению света от источника в точку наблюдения через центральную зону Френеля.

Поскольку при полностью открытом фронте амплитуда поля в точке Р, находящейся на расстоянии от источника S, равна амплитуде поля сферической волны

Е₁ = 2Е(Р) = .

Аналогичным образом строятся зоны Френеля и для плоского фронта волны. В этом случае зоны Френеля будут представлять собой не сферические, а плоские кольца с центрами в точке М₀ (рис. 8.3, б). Радиус внешней границы m-ой зоны Френеля в пренебрежении членом (m / 2)² как видно из рис. 8.3, б, будет равен

_m = = .

Эту формулу можно получить и непосредственно из формулы (8.1), если в ней перейти к пределу а   (при стремлении радиуса сферической волны к бесконечности она переходит в плоскую волну). Положив в этой формуле b = z, получим для внешнего радиуса m-ой зоны Френеля

_m = (6.5)

Из формулы (8.5) имеем _m² = mz, откуда 2_m_m = zm. Положив в этом соотношении m = 1, найдем расстояние между соседними кольцевыми зонами Френеля (ширину колец):

.

Следовательно, ширина кольцевых зон Френеля _m убывает с увеличением их радиуса _m. При этом площади всех зон одинаковы (не зависят от номера зоны m):

 = _m _m = (1/2)z = const.