7.4. Дифракция Фраунгофера на прямолинейном крае протяженного экрана

Решим теперь задачу о дифракции Фраунгофера на прямолинейном крае протяженного экрана (оптическом ноже). Как и при рассмотрении дифракции Френеля, функцию пропускания экрана t(x) будем представлять в виде единичной функции Хэвисайда 1(x), т.е. будем считать, что Ось Y направлена вдоль края экрана, а ось X – перпендикулярно ему. При такой функции пропускания данная задача математически сводится к одномерному преобразованию Фурье функции 1(x) и последующему умножению результата на constE₀, где E₀ – амплитуда плоской волны, падающей на экран.

Поскольку для распределения поля по экрану

,

преобразование Фурье в обычной форме (7.6)

не может быть применено непосредственно. Это затруднение можно обойти, если вместо t(x) в виде единичной функции Хэвисайда использовать функцию t₁(x) = где – положительное число, стремящееся к нулю, и в конечном выражении перейти к пределу Так как

то

E′(x ) = const E₀ =

= const E₀ = const E₀ = C₁

где C₁ – постоянная и учтено, что u = x′ / (λ f). Распределение интенсивности в области x′ < 0

I(x, 0) = C ,

где C – постоянная.

Полученное выражение показывает, что при дифракции Фраунгофера на крае протяженного экрана, как и при дифракции Френеля, резкой границы между светом и тенью нет. В области x < 0, где по законам геометрической оптики должна наблюдаться тень, интенсивность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от края экрана. В области же x > 0 затухающие осцилляции интенсивности около значения I₀, как это имеет место при дифракции Френеля, отсутствуют.

Как и в случае дифракции Френеля, распределение поля в картине при дифракции Фраунгофера на щели можно рассматривать как дифракцию на двух краях протяженных экранов, сближенных на расстояние, равное ширине щели a. (Такая возможность существует в связи с принципом суперпозиции, согласно которому спектр суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих этим функциям спектров.) Функцию пропускания щели, как было показано в п. 5.9, можно представить в виде разности двух единичных функций Хэвисайда, начало одной из которых находится в точке x = – a / 2, а другой – в точке x = = a / 2. Воспользовавшись свойством смещения преобразования Фурье, согласно которому фурье-спектр функций f (x  d ) равен фурье-спектру функции умноженному на фазовые множители а также свойством дельта-функции, согласно которому

f (x) (x) = f (0) (x),

получим

1(u, a / 2) = 1(u) exp[i2u(a / 2)] =

= =

Аналогично находим

1(u, – a / 2) =

С учетом принципа суперпозиции получаем фурье-спектр функции пропускания щели

F{t(x)} = 1(u, a / 2) – 1(u, – a / 2) =

= .

Умножив это выражение на constE₀, получим искомое распределение поля в дифракционной картине при дифракции Фраунгофера на щели.

7.5. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

Схема опыта и в этом случае такая же, как на рис. 8.1, но теперь вместо экрана со щелью стоит экран с круглым отверстием. Центр отверстия расположен в начале координат O, плоскость XY которой расположена непосредственно за отверстием. Круговое отверстие имеет симметричную форму, и поэтому эту задачу можно решать с помощью соотношения (8.7). При круговой апертуре и нормальном падении света имеет место и полная симметрия дифракционной картины. Поэтому если определить изменение картины дифракции вдоль одной какой-либо радиальной прямой, проходящей через точку О в плоскости наблюдения XY, то оно будет таким же вдоль каждого радиальной прямой, проходящей через эту точку О. Функция пропускания отверстия в пределах отверстия (в пределах круга где – радиус отверстия) и равна нулю вне пределов отверстия (вне указанного круга). Выберем радиальную прямую, параллельную оси X, т.е. направленную вдоль оси X′. В этом случае k_y = 2 v = 0. Соотношение (9.6) принимает вид

E′(x ) = const E₀

Интегрирование проводится по области, ограниченной отверстием x ² + y ²  R ². Переменные в интеграле разделяются, и мы получаем

E′(x ) = const E₀

Здесь интегрирование по x производится в пределах а по y – в пределах y = Проинтегрировав по y, будем иметь

E′(x ) = const 2E₀ .

Положив x = Rτ, μ = 2uR = где – угол, определяющий направление распространения дифрагировавшей волны (направление на точку Р, рис.8.1), приведем этот интеграл к виду

E′(x ) = const 2E₀ .

Так как подынтегральная функция четная, то это выражение можно переписать в виде

E′(x ) = const 4E₀ .

Умноженный на коэффициент интеграл, стоящий в правой части, равен функции Бесселя первого рода первого порядка аргумента πμ. Функции Бесселя или, как их еще называют, цилиндрические функции принадлежат к классу так называемых специальных функций. Эти функции нельзя представить аналитически в виде конечного алгебраического выражения. Их можно представить в виде рядов. Численные значения этих функций протабулированы. Таким образом,

Следовательно, распределение амплитуды вдоль радиуса, параллельного оси X, определится выражением

E′(x ) = const E₀R ²

Распределение интенсивности вдоль указанного радиуса

I(μ) = I(0) (8.20)

где I (0) – значение интенсивности в точке x = 0. Заметим, что в отличие от дифракции Френеля, где интенсивность зависит от площади отверстия R², при дифракции Фраунгофера интенсивность зависит от длины окружности 2R, ограничивающей отверстие.

График изменения интенсивности I(μ) вдоль радиуса дифракционной картины имеет вид, показанный на рис. 8.6. отличие от дифракции Френеля, где интенсивность зависит от площади отверстия R², при дифракции Фраунгофера интенсивность зависит от длины окружности 2R, ограничивающей отверстие.

График изменения интенсивности I(μ) вдоль радиуса дифракционной картины имеет вид, показанный на рис. 8.6. Анало-

Рис. 6.6

гичная зависимость будет иметь место и вдоль любого другого радиуса, так что суммарная интенсивность будет определяться той же формулой (9.21). Как и в случае щели, интенсивность I(μ) имеет максимум при μ = 0, т.е. в направлении распространения падающей волны ( = 0) и с ростом μ, осциллируя, быстро затухает. Дифракционная картина представляет собой яркое пятно, окруженное чередующимися темными и светлыми кольцами (рис. 8.7). С удалением от центра

Рис. 6.7

интенсивность светлых колец резко падает, так что практически можно заметить только одно или два кольца.

Расчет показывает, что 84% всего света сосредоточено в центральном пятне. Это пятно называют кружком (или диском) Эри, который впервые исследовал эту задачу в общем виде. Центр диска Эри расположен в точке О′ плоскости наблюдения.

Первые нули (минимумы) функции I(μ) имеют место при Учитывая определение величины и что при малых углах дифракции (рис. 9.11) запишем это равенство в виде = ±1,22. Отсюда находим координаты первых минимумов:

Следовательно, радиус центрального пятна (диска Эри)

. (8.21)

Рис. 7.

Поскольку рассматриваются только малые углы дифракции , то будем иметь Учитывая это, находим угловой радиус диска Эри

(8.22)

Формулы (9.27) и (9.28) играют важную роль в дифракционной теории оптических инструментов, содержащих линзы. Дело в том, что в оптических приборах оправы линз и объективов (системы линз, заключенных в специальную оправу), а также диафрагмы имеют круглую форму. В оптических системах формирования изображения диафрагма служит для регулирования способности собирать падающий на оптическую систему свет. Эта так называемая апертурная диафрагма обычно располагается между различными линзовыми элементами системы. Со стороны объекта (источника света) эта апертура называется входным зрачком, а со стороны изображения – выходным зрачком. На языке инструментальной (приборной) оптики зрачки представляют собой изображения апертурной диафрагмы, построенные в пространствах предмета и изображения. Апертурная функция, представленная в координатной системе пространства изображения, называется (выходной) функцией зрачка.

Вследствие ограничения фронта падающей на оптическую систему волны, обусловленного конечными поперечными размерами диафрагмы и самой линзы, на краях диафрагмы или на оправе (на апертуре) линзы должна возникать более или менее заметная дифракция. Световая волна после дифракции на линзе будет создавать в фокальной плоскости линзы или в плоскости, где возникает изображение источника света, дифракционную картину. Если на линзу падает плоская волна, возникает дифракция Фраунгофера. В этом случае формулы (9.27) и (9.28) применимы и к линзе, где R – радиус оправы линзы. Световые лучи, исходящие из точечного источника света, находящегося на достаточно большом удалении от линзы, вблизи линзы можно считать почти параллельными. Условия фраунгоферовой дифракции будут выполнены и в этом случае. В плоскости изображения возникнет дифракционная картина в виде кружка Эри, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Эта картина и есть изображение бесконечно удаленного точечного источника света, размытое дифракцией на апертуре линзы. Изображение точки оказывается не точкой (или, как говорят не стигматическим).

Таким образом, дифракция света ставит определенный предел получению стигматического изображения. Никакая, даже самая совершенная линза, не дает идеального изображения, изображением точки будет являться не точка, а целая дифракционная картина. В более общем случае, при наличии аберраций (недостатков) линз и других причин, даваемое оптической системой изображение точечного источника (или, как говорят, отклик системы на точечное (импульсное) воздействие) будет представлять собой световое пятно с изменяющейся от точки к точке интенсивностью, которое, как уже отмечалось выше, называется функцией рассеяния точки (ФРТ) системы.

В заключение этого параграфа отметим важное свойство дополнительных экранов. Дополнительными экранами называют два экрана с такими апертурами, что при наложении их друг на друга получается полностью непрозрачный экран. Свойство таких экранов определяется теоремой Бабине, согласно которой дифракционные картины, создаваемые такими экранами совпадают. В частности, например, дифракция на непрозрачном диске или шарике такая же, как и рассмотренная выше дифракция на круглом отверстии такого же радиуса в непрозрачном экране.

const [2J₁(α) / α].