8.3. Основное уравнение геометрической оптики

Предположим, что в среде с показателем преломления n распространяется плоская монохроматическая волна E(r, t) = = E₀ exp [i(k×r – w t)]. Введем в рассмотрение единичный вектор s, направленный вдоль скорости распространения световой волны, т.е. вдоль волнового вектора k, определив его как s = k / k. Этот вектор называют лучевым вектором. Поскольку длина волны в среде с показателем преломления n равна l = l₀ / n, то волновое число k = 2p /l = (2p /l₀) n = k₀n, где k₀ = w / c = 2p /l₀ – волновое число в вакууме, и тогда k = ks = k₀ns. С учетом этого электрическое поле плоской волны, распространяющейся в оптически однородной среде (где n = const), будет описываться волновой функцией

E(r, t) = E₀ exp[i(k₀ns×r – . (10.3)

Плоская волна характеризуется тем, что ее поверхности постоянной фазы (волновые поверхности) представляют собой неограниченные плоскости, а ее направление и амплитуда всюду одинаковы. В общем случае световые волны, как уже многократно отмечалось, таким свойством не обладают и не описываются формулой (10.3). Реальную световую монохроматическую волну в каждой небольшой области пространства можно представить в виде

E(r, t) = E₀(r) (10.4)

где E₀(r) – зависящая от координат амплитуда волны, Ф(r) – вещественная функция координат, называемая эйконалом (от греческого слова «эйкон» – «изображение»¹), заменяющая входящую в выражение (10.1) функцию ns×r и учитывающая для неоднородных сред зависимость показателя преломления n от координат: n = n(r).

Потребуем, чтобы функция (10.4) удовлетворяла волновому уравнению (1.3). Подставляя в это уравнение выражение (10.4) и учитывая, что а также используя условие равенства комплексных чисел, придем к уравнению, определяющему функцию Ф(r) при распространении света в реальных физических условиях:

(10.5)

где Ñ – векторный оператор градиента, ∆ – оператор Лапласа. Если считать, что длина световой волны l ® 0, то k₀ ® ¥; второй член в правой части (10.5) тоже будет стремиться к нулю, и тогда получим

(ÑФ) ² = n ². (10.6)

Это и есть основное уравнение геометрической оптики, называемое также уравнением эйконала.

По свойству градиента вектор ÑФ направлен ортогонально поверхности = const, т.е. вдоль направления распространения света, определяемого лучевым вектором s. Поэтому уравнение (10.6)можно записать в векторной форме

ns = ÑФ. (10.7)

Уравнение (10.7) показывает, что лучи, т.е. линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора s, ортогональны волновым поверхностям = const.

Проинтегрировав выражение (10.7) вдоль произвольной кривой C, соединяющей точки А и В, взятые на одном и том же луче, получим

(10.8)

где – вектор элемента dl кривой С, по модулю равный длине элемента d, а по направлению совпадает с направлением касательной к кривой в центре указанного элемента. Следовательно, линейный интеграл между произвольными точками А и В не зависит от пути интегрирования и равен разности значений эйконала в этих точках. Соотношение (10.8) называют интегральным инвариантом Лагранжа. Если кривая С замкнута, то правая часть в (10.8) обращается в нуль, и тогда будем иметь

(10.9)

Это соотношение можно рассматривать как интегральную форму основного уравнения геометрической оптики. Используя математическую теорему Стокса, получим и дифференциальную форму этого уравнения:

(10.10)

Перейдем теперь к рассмотрению следствий, вытекающих из основного уравнения геометрической оптики.