3.2. Основные характеристики случайных функций

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна МОЖ соответствующего сечения случайной функции, т.е. это некоторая средняя функция, около которой варьируются конкретные реализации случайной функции.

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция , значения которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции

,

то есть она при каждом t характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего. Её среднеквадратическое отклонение по аналогии с парой случайных чисел будет:

.

Для описания основных особенностей случайных функций необходима также третья, не менее важная характеристика – корреляционная функция, которая характеризует степень зависимости между степенями случайной функции в различные моменты t и t^′. В значительной мере эта зависимость характеризуется корреляционным моментом величин X(t) и X(t^′). Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений t и равна корреляционному моменту соответствующего сечения случайной функции:

,

где ,

Функция корреляции между значениями одного случайного процесса в два разных момента времени (t, t^′) называется автокорреляционной функцией.

Если корреляционная функция зависит только от разности аргументов в моменты t и t^′, то она аппроксимируется как

K_x=D_X exp(–a/τ),

где τ = t – t^′; α – постоянный коэффициент, характеризующий плотность потока импульсов, действующих в единицу времени [13].

Если интервал корреляции τ₀, то α=1/ τ₀ . В общем случае

α=ω_гD_Б/tπD_М,

где ω_г=0,05 Гц , D_Б и D_М – дисперсии быстро- и медленнопеременных составляющих случайного процесса, при этом D_X = D_Б – D_М.

Антиподом корреляционной функции является ковариационная функция, МОЖ произведения двух случайных величин. Легко показать, что при t=t^′ корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции, то есть дисперсия – частный случай ковариации. Вместо корреляционной функции на практике часто используется нормированная корреляционная функция, которая представляет собой коэффициент корреляции величин X(t) и X(t^′):

.

Корреляционная функция случайной функции обладает многими свойствами, имеющими важное значение при решении практических задач, однако более подробное их освещение в данном пособии выходит за рамки поставленных задач, а интересующийся этими вопросами читатель может быть адресован к главе 15 [1] и к главе 18 [12].

3.3. Основные сведения о случайных процессах

Рассмотрение характеристик случайных процессов на примерах простейшего случая двух случайных величин X и Y позволяет получить систему соотношений для любого сечения стационарного случайного процесса [1,3], базирующуюся на использовании многомерной функции распределения случайного процесса, задающей вероятность события для любого k=1,2,…

Перечень параметров Z(t), получаемых из многомерной функции распределения , и формулы для их определения, заимствованные из [3], представлены в табл. 3.1.

Если параметры Z не могут быть определены теоретически и находятся по результатам наблюдений реализаций случайных процессов в соответствии со случайной выборкой по приведенным в табл. 3.1 формулам, то следующим шагом в исследовании случайных процессов является вычисление статистических оценок параметров Z по формулам [3], представленным в табл.3.2.

Если стационарный случайный процесс можно считать эргодическим, то статистические оценки параметров Z определяются выражениями, заимствованными из [3] и представленными в табл.3.3.

Зависимости, приведенные в табл. 3.2 и 3.3, позволяют получить статистические оценки параметров Z, удовлетворяющие требованиям состоятельности, несмещенности и асимптотической эффективности [1,3,12].

Репрезентативность выборки позволяет получать по приведенным зависимостям оценки параметров с возможно малым среднеквадратичным (стандартным) отклонением от их истинных значений. Степень близости статистической оценки Z к соответствующему параметру может быть оценена с помощью известного метода доверительного интервала и доверительной вероятности (при знании вероятностных законов распределения оценок, что особенно легко и точно делается при нормальном законе распределения оценок).

Таблица 3.1

Зависимости для получения параметров

Z дискретного случайного процесса

Параметры Z дискретного случайного процесса	Обозначения	Формула
Начальный момент k-го порядка
Математическое ожидание
Ковариационная функция
Центральный момент k-го порядка
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Автокоррелляционная функция
Взаимная корреляционная функция

Таблица 3.2

Зависимости для получения статистических оценок

параметров Z дискретного случайного процесса

Статистичес-кие оценки параметров Z	Обозначение	Формула
Выборочный начальный момент k-го порядка
Выборочное среднее
Выборочная ковариацион-ная функция
Выборочный центральный момент k-го порядка
Выборочная дисперсия
Стандартное отклонение
Выборочная автокорреля-ционная функция
Выборочная взаимная корреляцион-ная функция

Поскольку близость основных статистических оценок и к их истинным значениям хорошо аппроксимируется нормальным распределением, она может быть приближенно установлена для любых распределений уже при объемах выборок N>30.

Таблица 3.3

Зависимости для получения статистических оценок параметров эргодического стационарного дискретного случайного процесса.

Обозначение	Формула
– спектральная плотность, характеристика распределения дисперсий Dx по частотам непрерывного спектра частот разложения случайной функции