2. Определенный интеграл

2.1. Вычисление определенного интеграла

Если некоторая первообразная функции , непрерывной на отрезке , то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница:

.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: .

Пример 2. .

Решение: Так как то

.

2.2. Замена переменной в определенном интеграле

Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , и при , , , то справедлива формула

,

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле выполняется так же, как в неопределенном интеграле, только пересчитываются пределы интегрирования, после чего не требуется обратной замены.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Применим подстановку: , , если , то . Следовательно

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: Применим подстановку: , , , если , то .

.

2.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции и непрерывны вместе со своими производными на , то имеет место формула интегрирования по частям:

.

Случаи, в которых следует применять интегрирование по частям, такие же, как в неопределенном интеграле.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Положим тогда

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: Сначала применим подстановку ,

, .

.

Последний интеграл будем интегрировать по частям. Положим

Тогда .

3. Приложения определенного интеграла

3.1. Площадь плоской фигуры

3.1.1. В декартовой системе координат

элементарной фигурой является криволинейная трапеция (рис.1), ограниченная линиями , , , , площадь которой вычисляется по формуле

Рис.1

Площадь фигуры (рис.2) вычисляется по формуле

.

Рис.2

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Построим чертеж к задаче (рис. 3).

Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: . Отсюда

Площадь фигуры вычислим по формуле .

Рис.3

(кв.ед.)

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e^2x, x=0, x=2, y=0.

Решение: Построим чертеж к задаче (рис.4). Площадь криволинейной трапеции вычислим по формуле

Рис.4

(кв.ед.).

3.1.2. В полярной системе координат

"элементарной фигурой является кри­­­­во­­­­­ли­­­­ней­­­ный сектор (рис.5), площадь которого вычисляется по формуле

Рис.5

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Решение: Так как определяет расстояние до соответствующей точки,

то . Следовательно, область определения функции определяется

неравенством .Общее решение этого неравенства имеет вид

где .

Отсюда . Так как в полярной системе

координат выполняются ограничения на область изменения ,

то область допустимых значений функции в полярной системе

координат состоит из двух промежутков, описывающихся соответствую-

щими неравенствами:

Выбрав несколько значений из указанных промежутков, построим график

функции (рис. 6).

.

Рис.6

В силу симметричности фигуры вычислим площади, где полярный угол

.

Итак,

Следовательно, площадь всей фигуры (кв.ед.).

3.1.1. Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически, то площадь вычисляется по формуле .

Пример 4. Вычислить площадь эллипса .

Решение: Сделаем чертеж к задаче (рис.7).

В силу симметричности фигур вычислим 1/4 площади. Найдем пределы интегрирования.

Так как , то

Рис.7

Следовательно, площадь (кв.ед.).