1. – Переходный процесс по каналу управления,

2. — Переходный процесс по каналу возмущения

Переходные процессы характеризуются параметрами А_дин – динамическая ошибка;

- степень затухания переходного процесса. Оптимальная степень затухания находится в интервале 0,75 ÷ 0,9.

Τ_р – время регулирования. Переходный процесс считается законченным, если где ∆ - заранее заданная величина.

∆_ст – статическая ошибка.

Статическая ошибка характерна для статических систем ( - для канала управления и - для канала возмущения);

если — для канала управления и - для канала возмущения, то система называется астатической.

Для оценки качества переходного процесса необходимо, чтобы параметры переходных процессов были оптимальными:

Звено второго порядка

Звено второго порядка описывается уравнением

(1)

где t₁ и Т₂ – постоянные времени

Статическая характеристика звена второго порядка у₀ = K·х₀, Применим к уравнению (1) операцию прямого преобразования Лапласа

(2)

Решение в операторной форме может быть записано в виде

(3)

Передаточная функция определяется выражением

(4)

Используя операцию обратного преобразования Лапласа, выразим временную характеристику из уравнения (4):

(5)

Запишем характеристическое уравнение

Выразим корни характеристического уравнения

(6)

В зависимости от вида корней уравнение (5) меняет свои свойства.

Рассмотрим различные случаи решения уравнения (5).

Корни уравнения (6) действительные, разные:

В случае, если корни уравнения (6) действительные, разные,

Следовательно,

В общем случае получаем корни уравнения .

Запишем общий случай решения уравнения (5) для случая простых корней:

(7)

Для рассматриваемого случая корни уравнения должны быть разные (не должно быть кратных и нулевых корней). Подставим в уравнение (7) вещественные корни .

(8)

Графическая интерпретация уравнения (8) представлена на рис. 4, кривая 1.

Рис. 6. Временные характеристики дли случаев, когда —

1- корни действительные, разные,

2 – корни кратные,

Уравнение (6) имеет кратные корни:

Уравнение (6) имеет кратные корни когда и, следовательно, Передаточная функция определяется выражением:

(9)

то есть звено представляет собой последовательное соединение двух звеньев с одинаковыми временными функциями.

В случае, когда уравнение (6) имеет кратные корни, временная характеристика определяется уравнением:

(10)

Графическая интерпретация уравнения (10) представлена на рис. 6, кривая 2.

Уравнение (6) имеет два комплексные сопряженных корня:

Рассматриваемый случай возможен, когда подкоренное выражение в уравнении (6) Корни уравнения (6) определяются выражением

(11)

Получим:

Преобразуя данное выражение, получим выражение для временной характеристики:

(12)

Графическая интерпретация уравнения (12) представлена на рис. 7.

Рис. 7. Временная характеристика для случая, когда

С помощью значений амплитуд колебаний можно оценить величину степени затухания ,которая в общем случае изменяется в интервале 0÷1. Амплитуда a₂ может быть определена из выражения где . Используя выражения для А₂ и Т, выражение для степени затухания преобразуется к виду - корневой показатель колебательности или степень колебательности.

(13)

Уравнение (6) имеет два чисто мнимых корня:

Рассматриваемый случай возможен, когда Т₁ = 0. Выражение для передаточной функции:

(14)

Применяя к уравнению (14) операцию обратного преобразования Лапласа, запишем выражение для временной характеристики:

(15)

С помощью теоремы разложения уравнение (15) преобразуется к виду

(16)

В данном случае имеем косинусоиду с постоянной амплитудой (рис. 8). Такое колебательное звено получило название консервативного.

Рис.8. Временная характеристика для случая, когда Т₁ = 0