Бесконечно малые величины и их свойства
Опр: α =α (x) называется бесконечно малой при x → a , если lim α (x) = 0
x→ a
Теорема 1:
1). Если f (x) при x (a −δ; a +δ ) равна сумме постоянной и бесконечно малой α , то есть
f (x) = b + α где b=const ; − бесконечно малая, то lim f (x) =b
x→ a
2
x→
a
Теорема 2:
Если
=
(x)
- бесконечно
малая,
то
–
бесконечно
большая
Величина, обратная бесконечно малой есть величина бесконечно большая.
Теоремы о бесконечно малых (б.М.)
1). Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая величина.
α (x) + β (x) −γ (x) =δ (x) , где α (x);β (x);γ (x);δ (x) - бесконечно малые.
2). Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.
Ζ(x) ⋅α (x) =δ (x)
Следствие 1: Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
α (x) ⋅β (x) =δ (x)
Следствие 2: Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину есть величина
бесконечно малая.
C ⋅α (x) =δ (x) где С – const
3). Частное от деления бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.
,
где
z
–
ограниченная, не равная нулю.
Сравнение бесконечно малых
1).
Если
,
где c–
const,
то α
(x)
и
β
(x)
называются бесконечно малыми одного
порядка
2).
Если
,
где
y(x)
-
бесконечно малая величина, то α
(x)
называется бесконечно
малой более высокого порядка, чем β (x)
3)Если
,
то
α
(x)
и β
(x)
называются эквивалентными бесконечно
малыми.
Таблица эквивалентностей:
При x → 0
sin
x
~
x 1
– cos
x
~
tg x ~ x ex–1 ~ x
arcsin x ~ x (1+ x)p – 1~ px
arctg x ~ x
ln
(1+ x)
~ x 
~
Основные теоремы о бесконечно больших− б.б
1). Сумма конечного числа абсолютных величин бесконечно больших есть бесконечно большая величина.
|u(x)| + |v(x)| + |ω(x)|. где u(x); v(x); ω(x) - бесконечно большие
u(x) + C − б.б.
Замечание: [∞ − ∞]- неопределённость
2). Произведение бесконечно большой на ограниченную величину есть величина бесконечно большая
z(x) ⋅u(x) − б.б.
Следствие 1: C *u(x) − б.б. , где C – const
Следствие2: Произведение бесконечно большой величины на бесконечно большую есть величина бесконечно большая. u(x) ⋅ v(x) − б.б.
3). Частное от деления бесконечно большой на ограниченную величину, отличную от нуля, есть
величина бесконечно большая.
–
б.б.
, где z(x)
– ограниченная отличная от 0.
Замечание: ⎥⎦
–
неопределённость.
Основные теоремы о пределах
Теорема 1:
Предел постоянной равен самой постоянной величине. lim C = C
x→ a
Теорема 2:
Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:
lim (u(x)+ v(x) – w(x)) = lim u(x) + lim v(x) – lim w(x)
x→a x→a x→a x→a
Теорема 3:
Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:
lim(u(x) v(x) = (limu(x)) (limv(x))
x→a x→a x→a
Следствие: постоянный множитель выносится за знак предела.
Теорема 4:
Предел частного двух переменных равен частному пределов , если предел знаменателя не равен 0:
,
где 
0
Теорема 5:
Если выполняется u(x) ≤ v(x) ≤ w(x), и lim u(x) = b, lim w(x) = b , то lim v(x) = b
Теорема 6:
Если u(x) ≤ v(x) и lim u(x) = a;...lim v(x) = b , то a ≤ b
Теорема 7:
Если u(x) возрастает, но при этом остаётся ограниченной (числом М), то существует lim u(x) = b , причём b ≤ M
Первый замечательный предел
~
1
Второй замечательный предел
~
e 
~
e,
e
–
иррациональное
число
2,7182818…
2,72