Задача 2 Обчислення випадкової похибки вимірювання
При вимірюванні електричної величини х проведено n рівноточних спостережень. Результати вимірювань, постійна систематична похибка ряду С та довірча ймовірність P визначення довірчих меж похибки результату вимірювання дані в таблиці 2.4.
Запишіть результати вимірювання.
Методичні вказівки
Відомо, що похибка вимірювання складається з систематичної та випадкової. Систематичну складову похибку можна визначити по формулам, графікам, діаграмам і т.п.
Випадкова похибка вимірювального приладу це складова основної похибки, що змінюється випадково по законам, що невідомі експериментатору.
Для оцінки випадкових похибок досить визначити числові характеристики – математичне сподівання та середньоквадратичне відхилення, але значення цих характеристик можливо обчислити тільки при нескінченному числі вимірювань. Практично число вимірювань n завжди обмежене і тому в цьому випадку обчислюють наближені оцінки математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення.
Для визначення складової випадкової похибки виконують n (n10) рівноточних спостережень. Ці спостереження називають ще рівнорозсіяними, якщо вони є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами. Експериментатор повинен виконувати вимірювання при незмінних умовах (температурі і вологості повітря, частоті та напрузі мережі, зовнішніх магнітних полях) і тими самими приладами.
Гіпотеза про нормальне розподілення результатів випадкових спостережень приймається без перевірки.
Статистична обробка групи результатів спостережень при рівноточних вимірюваннях та нормальному розподілу виконується в такій послідовності. Обробку проміжних результатів доцільно записувати в таблицю 2.1, кількість строчок в якій відповідає кількості спостережень.
Таблиця 2.1
Результати обробки ряду спостережень
хі |
хі |
хі |
|
ρі |
ρі2 |
|
і |
S |
дов |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Прийняті позначки
хі – результат і-того спостереження (графа 1);
хі– виправлений результат, який одержуємо після виключення систематичної похибки С із результатів спостережень
(графа 2) (2-1).
В 3 графу записати виправлені результати спостережень у неспадній послідовності х1 х2 х3 ... хn
Середньоарифметичне значення ряду спостережень виправлених результатів
(графа 4) (2-2).
Цю величину приймають за оцінку результату вимірювання.
Випадкове відхилення ρі виправленого результату окремого спостереження від середнього арифметичного виправлених результатів спостережень
(графа 5) (2-3).
При обробці результатів обчислень та ρі перевірити умову, що
У графу 6 занести величину ρі2
Середньоквадратичне відхилення результату спостереження (СКВ) характеризує ступінь розсіяння результатів спостережень навколо середнього арифметичного значення
,
(графа 7) (2-4).
Виключення з ряду спостережень
анормальних результатів
(грубих похибок).
Для цього необхідно обчислити коефіцієнти 1 і n
,
(графа
8) (2-5)
і порівняти їх з коефіцієнтом (табл.2.2), що залежить від даного об’єму вибірки та прийнятого рівня значущості .
= 1 – P (2-6)
Таблиця 2.2
Граничне значення при оцінці анормальності результату спостереження
|
n |
||||||||||
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
0,05 |
1,15 |
1,46 |
1,67 |
1,82 |
1,94 |
2,03 |
2,11 |
2,18 |
2,23 |
2,29 |
2,33 |
0,1 |
1,16 |
1,42 |
1,60 |
1,73 |
1,83 |
1,91 |
2,03 |
2,03 |
2,09 |
2,13 |
2,17 |
Якщо 1 та n, всі спостереження вважаються нормальними.
Обчислити середньоквадратичне відхилення результату вимірювання
(графа 9) (2-9)
Довірчі межі випадкової
похибки результату вимірювання
– це межі інтервалу, в якому знаходиться
випадкова похибка вимірювання із заданою
ймовірністю.
Зв’язок
з похибкою вимірювання неоднозначний
і залежить від числа спостережень n,
функції розподілу випадкових похибок
та коефіцієнта розподілу Стьюдента
t(n)
(табл.2.3).
,
(графа
10) (2-10)
Таблиця 2.3
Таблиця коефіцієнта t(n) розподілення Стьюдента
P |
n-1 |
|||||||||
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
0,95 |
3,182 |
2,776 |
2,571 |
2,447 |
2,365 |
2,306 |
2,262 |
2,228 |
2,201 |
2,179 |
0,9 |
2,353 |
2,132 |
2,015 |
1,943 |
1,895 |
1,860 |
1,833 |
1,812 |
1,796 |
1,782 |
Результати вимірювань записати у стандартній формі:
.
Якщо 1 та n (або один з них), то результати спостережень х1 та хn (або один з них), відповідно анормальні і їх необхідно виключити з ряду.
При зменшенні кількості спостережень в ряді треба знову обчислити , і, , 1, n, дані розрахунків привести в новій таблиці і перевірити на наявність грубих похибок.
Примітка. Варіант завдання вибрати по номеру залікової книжки. Якщо номер залікової книжки більше 45, тоді варіант вибрати (№книжки – 45).
Література
Л1. §§ 5.3, 5.7, с. 76-84, 104-107.
Л4. § 2.2, с. 52-57.
Л5. § 4.1, с. 59-67.
Табл.2.4. Вихідні дані до задачі 2 |
Задана ймовір-ність, Р |
15 |
0,9 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,95 |
0,95 |
||||||||||
Значення система-тичної похибки, С |
14 |
3,0 |
-4,0 |
-3,0 |
0,2 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
-0,3 |
-0,2 |
0,5 |
0,4 |
0,05 |
0,03 |
|||||||||||
Виміряне значення випадкової величини xi |
x12 |
13 |
119 |
117 |
117 |
19,5 |
16,0 |
|
|
|
|
16,0 |
|
10,3 |
7,12 |
||||||||||
x11 |
12 |
122 |
122 |
130 |
24,1 |
14,0 |
15,0 |
12,0 |
15,3 |
11,4 |
20,2 |
15,4 |
10,38 |
7,22 |
|||||||||||
x10 |
11 |
128 |
120 |
126 |
21 |
13,6 |
14,7 |
14,9 |
15,9 |
20,0 |
18,9 |
19,8 |
10,4 |
7,07 |
|||||||||||
x9 |
10 |
119 |
119 |
121 |
17,4 |
11 |
15,2 |
14,0 |
15,0 |
15,1 |
18,0 |
15,6 |
10,5 |
7,02 |
|||||||||||
x8 |
9 |
121 |
122 |
119 |
21,4 |
20,0 |
15,1 |
13,8 |
14,8 |
13,8 |
17,8 |
17,6 |
10,5 |
7,19 |
|||||||||||
x7 |
8 |
118 |
127 |
119 |
18,4 |
15,1 |
13,9 |
19,0 |
14,1 |
16,8 |
20,4 |
17,0 |
19,6 |
6,97 |
|||||||||||
x6 |
7 |
120 |
121 |
118 |
20,3 |
14,5 |
14,1 |
15,0 |
16,8 |
13,6 |
20,0 |
18,9 |
9,88 |
6,9 |
|||||||||||
x5 |
6 |
119 |
119 |
114 |
19,1 |
15,2 |
14,5 |
15,2 |
13,8 |
14,8 |
19,1 |
14,0 |
10,9 |
6,95 |
|||||||||||
x4 |
5 |
121 |
121 |
118 |
20,0 |
14,8 |
13,9 |
14,7 |
14,7 |
15,0 |
17,4 |
15,9 |
10,05 |
7,00 |
|||||||||||
x3 |
4 |
120 |
118 |
120 |
20,4 |
14,1 |
12,9 |
14,3 |
11,8 |
15,9 |
23,0 |
16,6 |
10,2 |
7,15 |
|||||||||||
x2 |
3 |
118 |
120 |
121 |
17,8 |
15,8 |
11,8 |
14,2 |
19,0 |
15,3 |
18,4 |
16,2 |
10,0 |
7,1 |
|||||||||||
x1 |
2 |
122 |
119 |
122 |
16,0 |
13,9 |
14,0 |
13,8 |
15,1 |
14,7 |
20,3 |
15,0 |
10,02 |
7,05 |
|||||||||||
№ ва-рі-анта |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|||||||||||
Продолжение табл. 2.4. |
15 |
0,95 |
0,95 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,9 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
14 |
0,1 |
-3,0 |
-,03 |
-,05 |
-,05 |
-0,2 |
0,2 |
-2,0 |
0,1 |
-0,2 |
-0,3 |
0,09 |
4,0 |
-5,0 |
3,0 |
0,5 |
|
13 |
|
152 |
|
|
13,8 |
12,9 |
|
117 |
10,7 |
10,1 |
|
8,3 |
211 |
|
131 |
|
|
12 |
11,5 |
149 |
15,6 |
20,6 |
14,9 |
14,9 |
24,2 |
126 |
10,0 |
11,0 |
7,7 |
8,25 |
219 |
154 |
136 |
46,2 |
|
11 |
12,0 |
150 |
19,8 |
18,9 |
14,4 |
14,0 |
21,8 |
128 |
11,0 |
11,0 |
7,8 |
8,15 |
210 |
156 |
130 |
45,0 |
|
10 |
11,8 |
147 |
15,6 |
18,2 |
13,8 |
13,9 |
17,5 |
118 |
10,8 |
10,2 |
7,2 |
8,13 |
218 |
162 |
125 |
45,8 |
|
9 |
11,9 |
153 |
17,0 |
18,0 |
12,0 |
11,9 |
21,6 |
122 |
10,4 |
10,4 |
7,1 |
8,07 |
200 |
170 |
141 |
45,6 |
|
8 |
11,6 |
154 |
15,9 |
20,0 |
19,0 |
19,0 |
18,4 |
117 |
9,8 |
9,7 |
7,7 |
8,0 |
230 |
158 |
139 |
48,2 |
|
7 |
12,0 |
152 |
14,9 |
20,5 |
15,0 |
15,5 |
20,36 |
120 |
10,9 |
10,4 |
7,4 |
8,15 |
212 |
159 |
140 |
45,8 |
|
6 |
12,5 |
149 |
14,0 |
19,2 |
15,3 |
15,6 |
19,1 |
119 |
10,8 |
10,9 |
7,8 |
8,28 |
209 |
165 |
137 |
44,0 |
|
5 |
13,0 |
146 |
15,9 |
16,5 |
14,8 |
14,1 |
20,5 |
122 |
10,3 |
10,9 |
7,5 |
8,40 |
198 |
145 |
131 |
48,2 |
|
4 |
12,0 |
159 |
16,6 |
23,6 |
14,4 |
14,3 |
20,0 |
124 |
10,6 |
10,7 |
7,0 |
8,19 |
223 |
149 |
134 |
46,4 |
|
3 |
12,3 |
156 |
16,2 |
18,4 |
14,6 |
14,2 |
17,9 |
118 |
10,3 |
10,5 |
7,9 |
8,12 |
219 |
152 |
137 |
45,2 |
|
2 |
12,1 |
150 |
15,0 |
20,2 |
13,8 |
13,8 |
19,8 |
121 |
10,0 |
10,0 |
7,6 |
8,06 |
215 |
157 |
132 |
46,8 |
|
1 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
Продолжение табл. 2.4. |
15 |
0,95 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,95 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
14 |
0,5 |
-2,0 |
-0,4 |
0,3 |
-0,5 |
0,2 |
0,05 |
0,2 |
0,6 |
0,8 |
0,2 |
-0,2 |
0,5 |
4,0 |
0,5 |
0,5 |
|
13 |
|
119 |
14,9 |
16,0 |
|
10,1 |
8,0 |
18,7 |
|
55,0 |
7,5 |
|
17,6 |
126 |
|
|
|
12 |
56,0 |
120 |
15,0 |
20,2 |
11,9 |
10,7 |
8,02 |
14,0 |
46,8 |
56,0 |
8,3 |
9,9 |
15,4 |
131 |
27,2 |
12,2 |
|
11 |
55,0 |
126 |
15,9 |
18,9 |
11,0 |
10,0 |
8,15 |
14,8 |
46,2 |
53,9 |
7,5 |
11,0 |
19,8 |
125 |
27,8 |
12,8 |
|
10 |
55,2 |
117 |
15,4 |
18,0 |
11,8 |
9,5 |
8,14 |
14,2 |
45,0 |
53,8 |
7,3 |
10,3 |
15,8 |
120 |
26,9 |
11,9 |
|
9 |
56,2 |
121 |
14,1 |
17,9 |
11,9 |
10,1 |
8,17 |
13,9 |
48,2 |
53,9 |
7,2 |
10,2 |
17,2 |
136 |
27,1 |
12,1 |
|
8 |
57,9 |
116 |
14,6 |
20,4 |
11,6 |
11,9 |
8,18 |
12,0 |
47,4 |
56,0 |
7,3 |
9,9 |
19,0 |
134 |
27,7 |
11,8 |
|
7 |
54,9 |
120 |
16,3 |
20,0 |
12,0 |
9,8 |
8,09 |
19,0 |
44,0 |
55,0 |
7,4 |
10,1 |
15,9 |
135 |
27,4 |
12,0 |
|
6 |
52,0 |
119 |
13,4 |
19,5 |
12,1 |
10,9 |
8,05 |
15,5 |
48,2 |
54,9 |
7,5 |
10,0 |
15,0 |
132 |
27,8 |
11,9 |
|
5 |
54,9 |
119 |
13,2 |
17,0 |
13,9 |
10,0 |
8,31 |
15,6 |
47,0 |
52,0 |
6,9 |
10,6 |
16,9 |
126 |
27,5 |
12,1 |
|
4 |
57,0 |
118 |
11,4 |
23,0 |
12,0 |
10,2 |
8,26 |
14,9 |
46,4 |
57,9 |
7,6 |
9,9 |
17,6 |
129 |
27,0 |
11,9 |
|
3 |
56,4 |
116 |
19,0 |
19,3 |
12,1 |
10,6 |
8,19 |
14,1 |
45,8 |
54,9 |
6,9 |
9,8 |
17,2 |
132 |
27,9 |
11,8 |
|
2 |
55,3 |
120 |
15,5 |
20,7 |
12,5 |
10,9 |
8,15 |
13,6 |
45,6 |
54,6 |
7,0 |
9,8 |
16,0 |
125 |
27,6 |
12,2 |
|
1 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |