9 Основные правила суммирования погрешностей измерений
1. Если на результат измерения оказывает влияние случайных, независимых центрированных погрешностей, то суммарная случайная погрешность определяется по правилам геометрического суммирования:
.
Если различные
составляющие случайной погрешности
оказывают неодинаковое влияние на
результирующую погрешность, то
суммирование ведется с учетом коэффициентов
влияния
:
где определяется по коэффициенту преобразования прибора:
,
где
- конструкционный параметр прибора, а
- измерительный параметр.
2. Если на результат оказывают влияние систематических составляющих, то общая составляющая равна алгебраической сумме отдельных составляющих:
.
Если на результат измерения оказывает влияние и систематическая и случайная составляющие, то:
,
т.е. геометрическое
суммирование.
Описанные правила суммирования погрешностей основываются на известном правиле теории вероятностей, согласно которому:
,
где
- коэффициент корреляции и
Для независимых
случайных погрешностей коэффициент
корреляции
,
следовательно:
.
Если составляющие сильно зависимы, жёстко коррелированны, то:
,
т.к.
.
Описанные правила распространяются на погрешности, распределенные по нормальному закону распределения, для которого оценки случайной погрешности в виде дисперсии и математического ожидания являются оптимальными.
10 Особенности суммирования погрешностей с произвольными законами распределения
1. Если на результат измерения оказывают влияние погрешности с произвольными законами распределения и известны их аналитические описания, то результирующее распределение находится путем последовательного применения интеграла свертки.
Пусть имеем плотности вероятностей, заданные аналитически:
Выберем из всего массива погрешности с нормальным законом распределения и определим параметры результирующего нормального закона распределения:
,
где
,
и
После этого находится первый промежуточный интеграл свертки:
полученное
сворачивается с
:
и так далее:
Зная вид результирующего распределения можно легко получить любые численные характеристики погрешности как случайной величины.
Недостатком такого метода является то, что чаще всего интегралы свертки не выражаются через элементарные функции, поэтому необходимо прибегать к методам численного интегрирования на ЭВМ, хотя и на ЭВМ эти задачи решаются не так просто.
2. Метод статистического моделирования.
(Метод суммирования погрешностей).
Если необходимо оценить результирующую погрешность при известных аналитических законах распределения отдельных составляющих, то поступают следующим образом:
с помощью программных средств создают генераторы случайных чисел на ЭВМ, подчиненных исходным законам распределения:
.
Область определения каждой погрешности делится на несколько подинтервалов, и так для каждой погрешности. Из каждого подинтервала равновероятным способом выбирается по одному значению погрешности.
Результаты
такой выборки объединяют в общий
числовой массив, который будет содержать
элементов. По полученному числовому
массиву строят гистограмму и аппроксимируют
ее гладкой аналитической кривой с
проверкой гипотез по критерию Пирсена
или Колмогорова.
Если необходимо вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение погрешности, то они могут быть вычислены на основании полученного массива данных.
3. Метод дерево логических исходов.
Этот метод основан на представлении графика плотности распределения в виде 3-х столбцовой гистограммы.
Например:
Сумма площадей
всех 3-х столбцов должна быть равна 1
После этого строят дерево логических исходов, представляющее собой ненаправленный граф, который отображает процесс суммирования отдельных составляющих погрешностей во всех возможных сочетаниях.
Например:
Алгоритм перебора вариантов:
Результат можно представить в виде:
Получив все значения результирующей погрешности, можно сразу вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение результирующей погрешности. А также построить гистограмму, учитывая, что:
