§2. Преломление света на сферической границе раздела двух прозрачных сред.

На рис.2 изображено отражение и преломление светового луча АВ в точке В, лежащей на сферической границе. Оптической осью сферической границы является прямая АА’, проходящая через центр кривизны N и вершину Н сферической границы. Ниже при рассмотрении свойств оптических систем будет показано, что в центре кривизны в случае одной сферической границы располагаются обе узловые точки системы N и N'. В вершине Н сферической границы располагаются главные точки Н и Н’. В общем случае кардинальные точки H и H’, N и N’ не совпадают друг с другом. Определения главных и узловых точек будут даны ниже. Точка A - действительная точка предмета, лежащая на оптической оси, A’ – ее действительное изображение, образованное преломленными лучами, А” – мнимое изображение точки А, образованное отраженными л учами. Мы

Рис. 2

ограничимся рассмотрением изображения, образованного только преломленными лучами. Все формулы, для преломляющей сферической границы, справедливы и для отражающей сферической границы, если только учесть, что при отражении –n’= n. Также заметим, что все определения, характеристики и формулы, относящиеся к сферической границе, записанные в общем виде, полностью применимы к любой сложной центрированной оптической системе. Будем считать, что рассматриваемая оптическая система (сферическая граница) является идеальной в том смысле, что она позволяет получить неискаженные оптические изображения предметов. В идеальной оптической системе каждой точке предмета А соответствует в пространстве изображений одна точка А’, являющаяся стигматическим изображением точки А. "Стигма” - означает точка. Две точки, линии или поверхности, одна из которых является изображением другой, называются сопряженными. А и А’ - сопряженные точки. Идеальное (стигматическое) изображение можно получить только при использовании лучей, идущих вблизи оптической оси. Лучи, идущие вблизи оптической оси, называются параксиальными лучами. На практике параксиальные лучи не используют, поскольку они соответствуют бесконечно малым углам и, u’ и бесконечно малым вертикальным отрезкам h. Для приближенного нахождения хода световых лучей через оптическую систему используют так называемые "нулевые" лучи с достаточно большими для практики углами и и вертикальными отрезками h. При этом нулевым лучам условно приписывают те же свойства, что и параксиальным лучам. Такую воображаемую систему называют идеальной.

Как видно из рис. 2, в рассматриваемом примере сферическая граница преобразует расходящийся гомоцентрический пучок с центром в точке А в сходящийся гомоцентрический пучок с центром в точке А‘. Выражение для оптического инварианта преломления в данном случае можно записать

в виде:

или (2.1)

В приближении параксиальных лучей, которое называется Гауссовым приближением,

(2.2)

Подставив (2.2) в (2.1), имеем:

,

Поделив все члены последнего равенства на произведение aa’r, получим формулу для сферической границы раздела двух сред:

, (2.3)

здесь отрезки a и a’ определяют положение предмета и его изображения и отсчитываются от передней и задней главных точек H и H’, которые в случае одной сферической границы совпадают, r – радиус кривизны сферической границы. Правая часть формулы (2.3) называется оптической силой сферической границы, обычно обозначается буквой Ф:

(2.4)

Оптическая сила Ф является однозначной характеристикой сферической границы двух оптических сред, не зависит от направления света. Для параксиальных лучей также не зависит от расстояний a и a’, т.е. в этом случае при заданном a положение изображения определяется однозначно (a' = сопst) и образуется стигматическое изображение, преломленный пучок сохраняет свой гомоцентризм. Для непараксиальных лучей оптическая сила оказывается зависящей от углов (-i, i’, -u, u’), что приводит к нарушению гомоцентризма световых пучков и, следовательно, к искажению изображений, в частности, к сферической аберрации. Оптическая сила - положительная, если лучи, исходящие из действительной точки предмета, находящейся на оптической оси, при преломлении отклоняются в сторону оптической оси. Таким образом, оптическая система с положительной оптической силой является собирающей. Рассеивающая оптическая система обладает отрицательной оптической силой. Если правую часть формулы (2.3) обозначить как оптическую силу и переписать ее в виде (2.3а):

(2.3а),

то в такой записи эта формула справедлива для любой центрированной оптической системы, где Ф - оптическая сила соответствующей оптической системы. Оптическая сила в системе СИ измеряется в диоптриях.