1.4. Элементы теории матриц

Матрица А порядка — это прямоугольная таблица действительных чисел

,

которая сокращенно может быть записана как ( ), ,

Сумма двух матриц A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, определяется посредством

.

Произведение матрицы на действительное число определяется как

Если , то соответствующая матрица называется квадратной порядка n. Элементы квадратной матрицы, индексы которых равны между собой (т. е. , i=j), образуют главную диагональ матрицы.

Частным случаем матрицы является матрица только с одной строкой или одним столбцом. Такую матрицу порядка или , называется n-мерным вектором.

Квадратная матрица, все элементы которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. В случае, если все элементы диагональной матрицы равны единице, соответствующая матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

.

Матрица , полученная из матрицы А путем замены строк соответствующими столбцами, называется транспонированной. Например,

;

Квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной, называется симметрической, т. е.

Сумма элементов главной диагонали, связывающей левый верхний угол с правым нижним углом квадратной матрицы, называется следом матрицы.

Важной характеристикой матрицы является понятие определителя. Поясним это понятие с помощью примеров. Пусть дана матрица

.

Определителем (детерминантом) этой матрицы является число

.

Если взять матрицу третьего порядка

,

то ее определитель

.

Каждое слагаемое в определителе матрицы третьего порядка является произведением трех элементов матрицы, причем элементы выбираются только по одному из каждой строки и каждого столбца. Столбцы, которым принадлежат элементы каждого слагаемого, образуют некоторую перестановку чисел 1, 2 и 3. Так, например, третьему слагаемому последнего определителя соответствует перестановка 312.

Поскольку для матрицы порядка n число перестановок равно n!, то определитель этой матрицы будет содержать n! слагаемых. Знак каждого из слагаемых определяется четностью перестановок: если перестановка четная, то знак положительный, если нечетная — отрицательный. Четность перестановки характеризуется числом нарушений возрастающего порядка записи номеров столбцов. Например, в записи 123 нет нарушений (плюс), в записи 312 два нарушения — перестановка четная (плюс), в записи 132 одно нарушение — перестановка нечетная (минус).

Таким образом, для определителя матрицы порядка n можно записать:

, ,

где — элемент из строки i столбца j;

0, если перестановка четная, 1 — если нечетная.

Основные свойства определителя.

1. При перестановке двух строк в матрице ее определитель меняет знак.

Например,

.

2. Если матрица содержит две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

3. При умножении любой строки матрицы А на любое число с ее определитель умножается на это же число.

4. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

5. Если к некоторой строке матрицы прибавить другую, умноженную на произвольное число, то определитель матрицы не изменится.

Минором элемента квадратной матрицы A называется определитель, полученный после вычеркивания i–й строки и j–го столбца этой матрицы.

Перемножение матриц. Пусть имеются две квадратные матрицы

, .

Матрица будет также квадратной матрицей размерности , каждый элемент которой является суммой произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы B:

В случае прямоугольных матриц А и В умножение возможно, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т. е. если , i=1,...,l, j=1,...m, k=1,...,n. Например,

, ,

= .

Для последнего примера произведение ВА не имеет смысла. Нетрудно убедиться в том, что произведение некоторой матрицы А на единичную матрицу соответствующего размера АЕ=А.

В результате перемножения n-мерной вектор-строки a с n-мерным вектор столбцом b получим:

,

где с является скалярной величиной.

Если скалярное произведение образовать путем умножения вектора B на самого себя и из полученного выражения извлечь квадратный корень со знаком плюс, то получим норму вектора, которая также называется его длиной или модулем:

Вектор с единичной нормой называется единичным вектором. Любой вектор можно нормировать путем деления (всех его элементов) на модуль, т. е. привести его к единице.

Обратная матрица. Если определитель 0, то существует единственная матрица В такая, что АВ=Е. В называется матрицей, обратной по отношению к А, и обозначается А^-1. Например,

; ;

Основные свойства обратной матрицы:

Квадратную матрицу называют вырожденной, если ее вектор-столбцы или вектор-строки линейно зависимы. Определитель такой матрицы равен нулю и обратной ей матрицы не существует. Квадратную матрицу называют невырожденной или неособенной, если ее вектор-столбцы или вектор-строки независимы друг от друга.

Решение линейных уравнений путем обращения матриц

Пусть имеется система m линейных уравнений с m неизвестными:

.

В матричной записи эта система может быть представлена в виде:

(20)

где

,

;

.

Заметим, что здесь мы воспользовались транспонированным отображение векторов для более компактной записи.

Если обе части равенства (20) умножить слева на , то получим:

или

или

(21) .

Следовательно, если известна обратная матрица , то, пользуясь соотношением (21), легко получить искомое решение в виде вектора B.

Несколько слов о программной реализации расчетов. Основные операции матричной алгебры реализуются на компьютерах с помощью специальных алгоритмов, так что освоившись в алгебре, специалист оказывается готовым к решению многих сложных и интересных задач.