Теорема про зміну кінетичної енергії точки

Кінетична енергія (або "жива сила" по старій термінології) є однією о двох мір механічного руху і характеризує перетворення механічного руху в інші види руху матерії (тепловий, електрич­ний тощо).

Теорема про зміну кінетичної енергії, як і інші теореми ди­наміки, також с дещо видозміненим інтегралом основного закону механіки - другого закону Ньютона. Переконаємось у цьому.

Нехай під дією рівнодійної сили матеріальна точка пе­ремістилась з положення в положення . При цьому її радіус-вектор дістав деякий елементарний приріст . Оскільки рух точки описується рівнянням

, (3.52)

то домноживши скалярно ліву і праву частини рівності (3.52) на ,одержимо

, (3.53)

або

. (3.54)

Оскільки , то рівність (3.54) запишеться у вигляді

або

. (3.55)

Тут - кінетична енергія точки, - диференціал кінетичної енергії, - елементарна робота рівнодійної сили.

Формула (3.55) являє собою вираз, який ми використаємо в подальшому при доведенні теореми про зміну кінетичної енер­гії системи матеріальних точок: диференціал кінетичної енергії точки дорівнює елементарній роботі рівнодійної сили.

Проінтегрувавши (3.55) у визначених границях, одержимо теорему про зміну кінетичної енергії точки , (3.56)

звідки маємо вираз теореми:

. (3.57)

Тут і − початкова і кінцева кінетичні енергії точки, А = - робота сили на переміщенні точки з положення в положення .

Формулювати теорему (3.57) можемо так: зміна кінетич­ної енергії точки на деякому переміщенні дорівнює роботі рів­нодійної сили на цьому ж переміщенні.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи

Запишемо для кожної k-ої точки системи, що складається з п матеріальних точок, диференціальні рівняння руху у векторній формі

, (3.58)

де і - рівнодійні зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на -ту точку системи.

Домножимо скалярно кожне рівняння системи на елементар­ний приріст радіуса-вектора кожної точки

, (3.59)

а потім ліву частину рівності (3.59) перетворимо таким чином

, (3.60)

а в правій частині введемо позначення: і - елементарні роботи рівнодійних зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на k-ту точку системи.

Величина є диференціалом кінетичної енергії k-ої точки системи.

Перепишемо рівність (3.59) у вигляді

(3.61)

і підсумуємо такі рівності для всіх n точок системи

. (3.62)

Оскільки операції додавання і диференціювання перемістимі, то запишемо

, (3.63)

або

. (3.64)

Тут - кінетична енергія системи.

Проінтегрувавши обидві частини рівності (3.64) у визначе­них границях, одержимо

, (3.65)

де і - початкова і кінцева кінетичні енергії системи.

Вираз (3.65) являє собою запис теореми про зміну кінетич­ної енергії системи матеріальних точок і формулюється так; зміна кінетичної енергії матеріальної системи на деякому пе­реміщенні дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точки системи на цьому переміщенні.

У порівнянні з розглянутими нижче загальними теоремами динаміки, теорема про зміну кінетичної енергії має такі від­мінності: по-перше, записується в скалярній, а не у векторній формі; по-друге, враховує дію внутрішних сил системи.