Складні події. Основні теореми теорії ймовірності

Сумою двох подій А і В називають подію С, що полягає в появі хоча би однієї з подій А і В.

Сумою декількох подій називають подію, що полягає в появі хоча би однієї з цих подій.

Добутком двох подій А і В називають подію D, що полягає в сумісній появі подій А і В.

Добутком декількох подій називають подію, що полягає в сумісній появі всіх цих подій.

Теорема про ймовірність суми подій. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі їх ймовірностей за відрахуванням імовірності добутку цих подій:

. (2)

У разі несумісних подій імовірність їх суми визначається за формулами:

– для двох подій А і В; (3)

– для n подій. (4)

Дві несумісні події А і називаються протилежними, якщо вони складають повну групу. Сума ймовірності протилежних подій дорівнює одиниці:

. (5)

Теорема про ймовірність добутку двох подій. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншої за умови, що перша подія відбулася:

(6)

де – умовна ймовірність події В за умови, що відбулася подія А; – умовна ймовірність події А за умови, що відбулося події В.

У разі незалежних подій формула (6) спрощується:

– для двох подій А і В; (7)

– для n подій. (8)

Приклад 6. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі з першої гармати дорівнює 0,7; з другої – 0,8. Знайти ймовірність ураження цілі при одному залпі з двох гармат.

Розв’язання. Введемо позначення. Хай А – подія, яка полягає у влученні в ціль першою гарматою; В – другою. Ці події є сумісними і незалежними. Отже, подія С (ураження мішені при залпі) є сумою двох сумісних подій. Ймовірність події С можна визначити за формулою (2)

Цю задачу можна вирішити й іншим способом.

Ціль буде уражена, якщо відбудеться одна з трьох несумісних подій: – в ціль влучила перша гармата та не влучила друга; – в ціль не влучила перша гармата та влучила друга; – в ціль влучили обидві гармати. В цьому випадку, застосовуючи теорему про суму несумісних подій у формі (4), а потім теорему про добуток незалежних подій, отримаємо

Найпростіший спосіб вирішення цієї задачі полягає в подані ймовірності події С через імовірність протилежної події – промах обох гармат:

Приклад 7. Студент прийшов на іспит, знаючи відповіді на 15 з 20 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент відповість на три екзаменаційних питання.

Розв’язання. Подія С (студент знає відповіді на всі три питання) є добутком трьох залежних подій: А₁ (студент знає відповідь на перше питання); А₂ (студент знає відповідь на друге питання за умови, що він відповів на перше) і А₃ (студент знає відповідь на третє питання за умови, що він відповів на перше і друге). Обчислимо ймовірності цих подій: Р(А₁)= ; ; .

За теоремою про ймовірність добутку залежних подій

.

Приклад 8. З п'яти букв розрізної азбуки складено слово «КНИГА». Дитина, що не уміє читати, розсипала букви, а потім зібрала в довільному порядку. Знайти ймовірність того, що у нього знову склалося слово «КНИГА».

Розв’язання. Ця задача вже розглядалася (див. Приклад 4). Наведемо другий варіант вирішення, використовуючи основні теореми теорії ймовірностей.

Щоб в порядку появи букв склалося слово «КНИГА», першою повинна з'явитися буква К. Ймовірність такої події становить , оскільки з п'яти можливих результатів тільки один сприяє появі букви К. Припустимо, що ця подія відбулася. Тоді ймовірність того, що з чотирьох букв, що залишилися, наступною з'явиться Н, визначається як . Аналогічно обчислюється ймовірність послідовної появи букв И, Г і А: ; ; . За теоремою про ймовірність добутку залежних подій знайдемо шукану ймовірність: