2. Примеры моделей

Задача 1.1. Дискретная однородная марковская цепь задана следующей матрицей переходов:

	S1	S2	S3
S1	0,5	0,5	0
S2	0	0	1
S3	0,2	0,8	0

Р =

Вектор начального распределения вероятностей р(0)=(0,0,1).

Требуется:

1. построить граф переходов;

2. вычислить р(3) (распределение вероятностей на 3-м шаге) ;

3. доказать неприводимость цепи и вычислить финальные вероятности р=(р1,р2,р3).

Решение

1. Граф переходов

2. Распределение вероятностей на 3-м шаге вычисляем, используя формулу (1.2): р(1) = р(0) * Р,

или

3. Из графа следует, что цепь неприводима, так что вектор финальных вероятностей р=(р1,р2,р3) существует. Находим его из системы (1.4)

Отбрасывая одно из первых двух уравнений, как лишнее, и решая оставшуюся систему, получим р₁=0,167, р₂= р₃=0,417.

Задача 1.2. Двухразрядный двоичный счетчик в нулевом такте сброшен. Вероятность поступления 1 на его вход в каждом такте одинакова и равна 0,4. Вычислить финальные вероятности состояний.

Решение

1. Граф переходов

2. Вектор начального распределения вероятностей р(0)=(1,0,0,0).

3. Матрица переходов

4. 	00(p0)	01(p1)	10(p2)	11(p3)
   00(p0)	0,6	0,4	0	0
   01(p1)	0	0,6	0,4	0
   10(p2)	0	0	0,6	0,4
   11(p3)	0,4	0	0	0,6

   Финальные вероятности состояний найдем, составив и решив систему (1.6):

Отбрасываем первое уравнение и решаем остальные методом последовательной подстановки:

0,4 р0 = 0,4 р1	p0 = р1
0,4 р1 = 0,4 р2	p1 = р2
0,4 р2 = 0,4 р3	p3 = р2
4 р0 = 1	Р0 = 0,25
Р0 = р1 = р2 = р3 =0,25

Задача 1.3. Вычислить финальные вероятности состояний следующей непрерывной марковской цепи:

	S1	S2	S3	S4
S1	0	2	2	0
S2	0	0	4	0
S3	0	0	0	6
S4	3	0	1	0

Р ешение

1. Граф переходов

2. Финальные вероятности (система уравнений Колмогорова):

Отбрасываем уравнение для S3 как самое сложное и решаем остальные методом последовательной подстановки (выражаем все вероятности через р₁). Получаем следующее решение:

р1 = 0,305; р2 = 0,153;	р3 = 0,136;	р4 = 0,406.
Проверка : р1+ р2 + р3 + р4 = 1

Задача 1.4. ЭВМ отказывает с интенсивностью  раз в час и восстанавливается с интенсивностью  раз в час. Определить финальные вероятности пребывания ЭВМ в работоспособном и неисправном состояниях.

Решение

Пусть S1 – состояние исправности, S2 – состояние отказа.

1. Граф переходов

λ

μ

2. Финальные вероятности (система уравнений Колмогорова).

Отсюда :

; .

Домашнее задание:

- решить задачу 1.2 при вероятности поступления 1, равной 0,3;

- решить задачу 1.4 при λ = 3, μ = 6 (час^-1).