2.1. Расчетные формулы

1. 2.1.1. Ридж-оценки вектора коэффициентов регрессии

,

где (как правило, ; ).

2.1.2. Стандартная ошибка -ой ридж-оценки коэффициента регрессии, равная корню квадратному из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы векторной оценки

,

где рассчитывается по остаткам .

2.2. Решение типовых задач

Задание 2.2.1. Руководство одного из крупнейших коммерческих банков ОАО «Александрит» ищет пути уменьшения расходов, связанных с основным видом деятельности – размещением вкладов физических лиц. С этой целью было решено проанализировать, в какой мере среднеквартальное число клиентов ( ) определяется величиной затрат на рекламу и суммой расходов на связи с общественностью . Данные об этих показателях за последние 20 кварталов представлены в табл. 2.2.1.

Т а б л и ц а 2.2.1

1	21	11,2	42	11	114	63	236,25
2	27	15,4	57,75	12	123	68,6	257,25
3	30	16	60	13	138	76	285
4	45	25	93,75	14	139	77	288,75
5	58	32,2	120,75	15	141	78,2	293,25
6	60	34	127,5	16	135	75	281,25
7	69	38,6	144,75	17	146	81	303,75
8	75	41	153,75	18	149	82,8	310,5
9	92	51,2	192	19	158	87	326,25
10	105	58,4	219	20	167	92,4	346,5

Решение с помощью табличного процессора Excel

1. Ввод исходных данных.

2. Построение регрессионного уравнения с использованием «Пакета анализа» (рис. 2.2.1).

Р и с. 2.2.1. Диалоговое окно инструмента «Регрессия»

3. Полученный результат позволяет выдвинуть гипотезу о наличии эффекта мультиколлинеарности.

3.1. Формирование матрицы с помощью функций ТРАНСП и МУМНОЖ

.

2. Вычисление определителя матрицы с помощью функции МОПРЕД и по формуле

.

Равенство определителя нулю говорит о наличии явления мультиколлинеарности в строгом смысле. Следовательно, необходимо исключить один из факторов и перестроить модель заново.

4. Построение регрессионной модели с единственным фактором – расходами на связи с общественностью (см. Вывод итогов 2.2.1).

ВЫВОД ИТОГОВ 2.2.1
Регрессионная статистика
Множественный R	0,999897
R-квадрат	0,999793
Нормированный R-квадрат	0,999782
Стандартная ошибка	0,70675
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS	F		Значимость F
Регрессия	1		43487,81		43487,81	87063,55		1,28E-34
Остаток	18		8,99091		0,499495
Итого	19		43496,8
	Коэффи-циенты		Стандартная ошибка		t-статис-тика	P-Значение		Нижние 95%		Верхние 95%
Y-пересечение	-0,05655		0,372888		-0,15166	0,881139		-0,83996		0,726857
Переменная X 1	0,481433		0,001632		295,0653	1,28E-34		0,478005		0,484861

Таким образом, построенная модель имеет вид

.

Высокий коэффициент корреляции свидетельствует о существенной взаимосвязи моделируемого показателя с фактором. Сравнение расчетного значения -критерия с табличным позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели. Сравнение расчетных значений t-статистик с табличным говорит о значимости включенного в модель фактора .

Задание 2.2.2. Известно, что стоимость выпуска газеты в значительной степени определяется величиной типографских расходов. Для того чтобы иметь возможность воздействовать на эту стоимость, издатели наиболее популярных газет решили изучить факторы, определяющие сумму годовых затрат на печать газет, и оценить степень их влияния. С этой целью для 20 городов России были собраны данные о годовых расходах на печать ( , млн. руб.), объемах розничной продажи газет в городе (млн. руб.) и количества семей в городе (в тысячах). Заметим, что для факторов были взяты их логарифмы ( и , соответственно) с целью уменьшения разброса данных, а следовательно, и упрощения их обработки. Все эти данные представлены в табл. 2.2.2. Постройте модель множественной регрессии, отражающую зависимость среднегодовых расходов на издание газеты от соответствующих факторов.

Решение с помощью табличного процессора Excel

1. Ввод исходных данных.

Т а б л и ц а 2.2.2

№ п.п.				№ п.п.
1.	2,8	4,4	3,00	11.	2,7	4,24	2,89
2.	2,3	3,68	2,51	12.	2,9	4,72	3,22
3.	2,5	3,92	2,67	13.	3,3	5,28	3,6
4.	2,7	4,32	2,94	14.	2,7	4,24	2,89
5.	2,6	4,24	2,89	15.	1,8	3,04	2,07
6.	2,4	3,76	2,56	16.	1,9	3,12	2,13
7.	3,5	5,52	3,76	17.	2,2	3,6	2,46
8.	2,1	3,36	2,29	18.	2,3	3,68	2,51
9.	1,9	3,04	2,07	19.	3,6	5,76	3,92
10.	3,8	5,92	4,03	20.	2,2	3,6	2,45

2. Построение регрессионного уравнения с использованием «Пакета анализа» (см. Вывод итогов 2.2.2) и анализ полученных результатов.

ВЫВОД ИТОГОВ 2.2.2
Регрессионная статистика
Множественный R	0,997299
R-квадрат	0,994606
Нормированный R-квадрат	0,993972
Стандартная ошибка	0,044773
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df		SS		MS		F		Значимость F
Регрессия	2		6,283922		3,141961		1567,374		5,26E-20
Остаток	17		0,034078		0,002005
Итого	19		6,318
	Коэффи-циенты		Стандартная ошибка		t-статис-тика		P-Значение		Нижние 95%		Верхние 95%
Y-пересечение	-0,10201		0,052759		-1,93359		0,069992		-0,21333		0,009298
Переменная X 1	2,653207		2,446084		1,084675		0,293209		-2,50759		7,814002
Переменная X 2	-2,93956		3,595708		-0,81752		0,424942		-10,5258		4,646732

Анализ вывода итогов 2.2.2 свидетельствует о том, что полученные стандартные ошибки значительно больше самих расчетных коэффициентов. Коэффициенты при факторах и незначимы, так как для них P-значения больше 0,05. В то же время сравнение расчетного значения -критерия с табличным (2, 17) = 3,59 позволяет сделать вывод об адекватности рассматриваемой модели.

Коэффициенты корреляции говорят о существенной взаимосвязи моделируемого показателя с факторами (см. табл. 2.2.3, полученную в результате выполнения действий, указанных на рис. 2.2.2). Одной из причин противоречивости результатов модели является тесная взаимосвязь между факторами. Все эти факты говорят о том, что изучаемая модель требует более детального анализа.

Р и с. 2.2.2. Построение корреляционной матрицы

с помощью пакета «Анализ данных» MS Excel

Т а б л и ц а 2.2.3

	1	0,9972	0,9971
	0,9972	1	0,9999
	0,9971	0,9999	1

3. Проверка условия невырожденности матрицы .

1. Формирование матрицы с помощью функций ТРАНСП и МУМНОЖ

.

2. Вычисление определителя матрицы с помощью функции МОПРЕД

0,0633.

Близость определителя к нулю, а также проведенный выше анализ позволяют сделать вывод о наличии частичной мультиколлинеарности.

4. Устранение эффекта мультиколлинеарности с помощью ридж-оценивания.

4.1. Включение в модель дополнительной переменной , принимающей единственное значение, равное 1.

2. Расчет коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel.

4.2.1. Формирование матрицы, обратной к матрице системы нормальных уравнений с помощью функций ТРАНСП, МУМНОЖ и МОБР при .

;

;

;

.

2. Получение вектора оценок коэффициентов регрессии путем умножения обратной матрицы на матрицы и при различных значениях . Оформление результатов виде табл. 2.2.4.

5. Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии.

5.1. Вычисление остаточной дисперсии при различных значениях и оформление результатов расчетов в виде табл. 2.2.5.

Т а б л и ц а 2.2.4

	-0,0937	-0,0745	-0,0588	-0,0458
	0,4454	0,4411	0,4381	0,4358
	0,2975	0,2972	0,2961	0,2950

Т а б л и ц а 2.2.5

Квадраты отклонений расчетных от фактических значений
0,001703	0,001766	0,001826	0,001884
0,000060	0,000028	0,000011	0,000003
0,002836	0,002686	0,002576	0,002493
0,000028	0,000024	0,000020	0,000016
0,002997	0,002993	0,002980	0,002961
0,003277	0,003036	0,002854	0,002715
0,000265	0,000489	0,000728	0,000970
0,000248	0,000139	0,000074	0,000037
0,000564	0,000336	0,000195	0,000109
0,003337	0,004280	0,005152	0,005956
0,002048	0,002051	0,002062	0,002078
0,004453	0,004163	0,003920	0,003714
0,000854	0,000599	0,000420	0,000292
0,002048	0,002051	0,002062	0,002078
0,005815	0,006670	0,007400	0,008024
0,000885	0,001211	0,001509	0,001776
0,001742	0,001989	0,002196	0,002368
0,000060	0,000028	0,000011	0,000003
0,001462	0,000980	0,000653	0,000426
0,001502	0,001733	0,001927	0,002090
Сумма квадратов отклонений расчетных от фактических значений
0,036183	0,037251	0,038577	0,039994
Остаточная дисперсия
0,002128	0,002191	0,002269	0,002353

2. Получение стандартных ошибок в виде корня квадратного из произведения диагональных элементов обратной матрицы на остаточную дисперсию при различных значениях . Оформление результатов расчетов в виде табл. 2.2.6.

Т а б л и ц а 2.2.6

	0,0483	0,0464	0,0450	0,0438
	0,0824	0,0593	0,0495	0,0437
	0,1207	0,0867	0,0721	0,0636

Таким образом, наименьшая стандартная ошибка получена при .Следовательно, построенная модель может быть записана в виде

.

6. Проверка значимости полученных коэффициентов регрессии

; ; .

Сравнение расчетных значений t-статистик с табличным свидетельствует о значимости включенных в модель факторов и . Таким образом, построенную модель можно использовать для целей анализа и прогнозирования.