14. Линейные и нелинейные среды

Разложим поле D в ряд Маклорена:

(21)

где , и после дифференцирования положим ,

Перепишем (21) в тензорном виде:

где

Если мы можем ограничиться в разложении (21) двумя первыми членами, то среда является линейной. Линейность среды связана с ма­лостью внешних электрических полей по сравнению с внутренними мо­лекулярными полями.

В противном случае среду нельзя назвать линейной и следует учи­тывать соответствующее число последующих членов ряда (21).

15. Граничные условия

На границе двух различных диэлектриков должны выполняться определенные граничные условия. Первое условие является следствием уравнения . Если поверхность раздела однородна по своим физическим свойствам, то

Второе условие вытекает из уравнения :

где п - единичный вектор внешней нормали к поверхности раздела двух сред, первая из которых рассматривается в качестве внутренней.

Считая зависимость индукции от напряженности электрического поля линейной, второе условие можно записать:

Отсюда видно, что нормальная составляющая напряженности электри­ческого поля претерпевает скачок на границе двух сред.

Граничные условия можно записать через потенциалы:

На границе между диэлектриком и проводником:

где - плотность зарядов на поверхности проводника.

Так как

то проинтегрировав это выражение по бесконечно малому объему ди­электрика на его границе (рис.6), получим:

Рис. 7.

Пусть имеется внешнее поле (рис.7).

где п - тензор деполяризации.

16. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде с учетом пространственно-временной дисперсии

При рассмотрении сред с пространственно-временной дисперсией мы учитываем зависимость диэлектрической проницаемости как от час­тоты, так и от волнового вектора.

В случае линейной изотропной среды с пространственно- временной дисперсией зависимость вектора индукции электрического поля от вектора напряженности имеет вид:

(22)

или

здесь под понимаем тензор. Далее везде, где учитывается

пространственная дисперсия (даже в изотропном случае), диэлектриче­ская проницаемость является тензором.

Пространственная дисперсия возникает потому, что индукция D в какой-либо точке r определяется электромагнитным полем (Е ; В ) не только в той точке, но и в некоторой ее окрестности.

Временная дисперсия возникает вследствие того, что D в момент времени t определяется только полем в прошлом и настоящем (прин­цип причинности) [8, с. 202].

Если свойства среды стационарны и пространственно однородны, то ядро оператора £ будет зависеть только от разностей:

Тогда (22) можно переписать в виде

Запишем поля Е и D в виде фурье-компонент. Для этого выпол­ним следующие преобразования:

Таким образом, приходим к уравнению связи:

В случае пространственно-временной дисперсии уравнения Максвелла принимают вид:

получаются усреднением точных микроскопических уравнений поля в вакууме. Однако в этом случае

Здесь мы полагаем , так как Р не связано с Е локаль­ным образом, как это было в отсутствие пространственной дисперсии [1, § 103]. Например,

Плоские монохроматические волны:

В отсутствие пространственной дисперсии Далее рассмотрим случай однородной среды:

Без пространственной дисперсии	С пространственной дисперсией