1 Построение математической модели
Инерционные методы измерения параметров линейного движения твердого тела основаны на измерении силы инерции F(t), которая пропорциональна массе m и ускорению тела a [1].
На рисунке 1 приведена схема механической системы прибора, состоящей из тела 1 массой m, движущегося поступательно по направляющим 2 и пружины 3.
а) б)
Рисунок 1 – Кинематическая (а) и эквивалентная (б) схема механической системы прибора
Аналогами механической колебательной системы являются дуальные электрические цепи, состоящие из идеальных источников силы тока I(t), напряжения U(t), сопротивления R, емкости C и индуктивности L (см. рисунок 2) [2].
R
L
C
I(t)
L
Рисунок 2 – Электрические аналоги механической системы
В соответствии со вторым законом Ньютона получим дифференциальное уравнение [1]:
(1)
где f- коэффициент вязкого трения, H*c/m; k- жесткость пружины, H/m; y(t)- перемещение тела, м; F(T) - внешняя сила, приложенная к телу, H.
Коэффициент вязкого трения определяется по формуле f=S/, где - коэффициент динамической вязкости масла, Пас; S – площадь поверхности контакта, м2, - толщина слоя масла, м.
Жесткость цилиндрической пружины определяется по формуле
(2)
где G - модуль упругости второго рода, для сталей G =0.8*1011 Па, i- рабочие число витков пружины i = iсв+0.5, iсв - число свободных витков пружины; r - средний радиус витка пружины, м (рисунок 2).
Преобразуем уравнение (1), разделив каждый его член на жесткость пружины k, получим [2, 3]:
(3)
где m/k=T2, T – постоянная времени системы, с; f/k= 2T, - коэффициент затухания системы; F(t)/k=y0 - начальное перемещение тела под действием внешней силы.
Полученное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка и для численного решения его необходимо преобразовать в системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Запишем уравнение (3) в явном виде
, (4)
обозначив
,
получим систему ОДУ
(5)
В системе MATLAB [4] для решения ОДУ и их систем первого порядка используется ряд функций, которые реализуют методы Рунге-Кутта различных порядков с автоматическим выбором шага численного интегрирования.
Для решения ОДУ и их систем первого порядка используется методы Эйлера, Рунге-Кутта и др.
2 Методы решения дифференциальных уравнений
2.1 Явный метод Эйлера – Коши первого порядка
Явный метод Эйлера – Коши первого порядка является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений. Он реализуется с помощью рекуррентной формулы:
(6)
где h – шаг интегрирования h=xi+1-xi .
Ниже приведен алгоритм метода Эйлера – Коши первого порядка:
10 Задайте число уравнений системы ОДУ n;
20 Задайте начальное значение t0;
30 t=t0;
40 Задайте конечное значение tm;
50 Цикл пока t<tm
50 Цикл для j=1,n
Введите начальное значение Y0(j)
W(j)=Y0(j)
Конец цикла для;
50 Введите шаг интегрирования h;
60 Переход к подпрограмме вычисления функцииFj(x,Yj);
70 Цикл для j=1,n
K(j)=h*F(j)
Y(j)= W(j)+ K(j)
Конец цикла для;
80 t=t+h;
90 Вывод t
100 Цикл для j=1,n
Вывод Y(j)
Конец цикла для;
110 Конец цикла пока;
120 Подпрограмма
F(1)=(1-ое уравнение системы ОДУ);
…………………..
F(n)=(n-ое уравнение системы ОДУ);
Конец подпрограммы;
2.2 Явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка
Метод Рунге-Кутта является наиболее распространенным методом решения систем ОДУ. Его достоинством является более точность и меньшая склонность к возникновению неустойчивости решения по сравнению с методом Эйлера-Коши.
Реализация метода заключается в вычислении в цикле Yj(i+1) на каждом (i+1) шаге по следующим формулам:
(7)