По даним таблиці 4.2 побудуємо: а) полігон частот

Рис.4.1

б) статистичну функцію розподілу – сходинковий графік

Рис.4.2

в) статистичну функцію щільності розподілу – гістограму

20

5

-10

-15

Рис.4.3

Якщо точки ступінчатого графіка і гістограми з’єднати плавною лінією, то в першому наближенні вони будуть визначати графік функції розподілу (рис.4.2) і графік щільності розподілу (рис.4.3) неперервної випадкової величини Х.

Досить часто таблицю статистичної сукупності будують для центрованих величин. Тобто спочатку обчислюють величину

. (4.8)

і відхилення

. (4.9)

Подальші розрахунки ведуться за формулами (4.1) – (4.7), де замість величин х_max , x_min беруть відхилення d_max, d_min і - . Відповідно і на графіках значення абсциси х заміняють відхиленнями d_х. Слід зазначити, що в прикладі статистична сукупність так і розрахована в таблиці 4.2. Тобто за величину х взято відхилення результатів вимірів лінії від середньої центрованої величини, а не довжини ліній.

§ 4.3 Оцінювання параметрів закону розподілу

Відомо, що випадкова величина Х характеризується законом розподілу, що має деякі невідомі параметри а ( а₁, а₂, ..., а_k ) (§ 2.4). Якщо в результаті виконаного експерименту нами отримано статистичний ряд Х₁, Х₂, ... , Х_п , то очевидно можна знайти надійну оцінку параметра а.

Припустимо, що на основі обробки статистичного ряду отримано параметр , що буде оцінкою невідомого параметра а. Разом з тим, він буде функцією від випадкових величин Х₁, Х₂, ... , Х_п, тобто

= (Х₁, Х₂, ... , Х_п). (4.10)

Таким чином і обчислений параметр буде випадковою величиною, закон розподілу якого залежить від закону розподілу випадкової величини Х і від числа експериментів п. При цьому оцінка буде мати практичну цінність, якщо володіє властивостями:

1. Незміщенності. При цьому повинна виконуватися умова

= а , (4.11)

де а - істинне значення параметра.

2. Обгрунтованності. Тобто по ймовірності вона сходиться до оцінюванного параметра при нескінченному збільшенні кількості дослідів, тобто

, (4.12)

де x - як завгодно мале позитивне число.

Для цього потрібно, щоб дисперсія оцінки а наближалась до нуля при n®¥ , тобто

3. Ефективності. Це означає, що дисперсія оцінки а повинна бути мінімальною, тобто

. (4.13)

При цьому буде мінімальна ймовірність появи грубої помилки при визначені наближеного значення невідомого параметра.

Таким чином при розробці методів обробки статистичних даних для визначення оцінок наближених значень невідомих параметрів треба виходити із їх властивостей. Оцінки параметрів закону розподілу, що відповідають всім трьом властивостям називають доброякісними.

Практично розроблено три способи визначення оцінок: 1) метод моментів, 2) метод максимальної правдоподібності (ММП) і 3) метод найменших квадратів (МНК).

В методі моментів значення теоретичних моментів заміняють значеннями емпіричних моментів, які обчислюють за результатами статистичних рядів, чи статистичної сукупності § 4.4.

В методі максимальної правдоподібності (ММП), розробленого Р.Фішером розглядають значення випадкових величин x₁ ,x₂,…,x_n, що отримані при проведенні дослідів і використовують їх для визначення невідомого параметра а. Якщо щільність розподілу j(х, а) залежить від параметра а, то в ММП задаються правдоподібною функцією, виходячи з того, що всі х_і незалежні

L(x₁ ,x₂,…,x_n, a ) = j (х₁, а) j (х₂, а)… j (х_n, а). (4.14)