2. Метод конформных отображений. Преобразование н.Е.Жуковского.

Николай Егорович Жуковский и Сергей Алексеевич Чаплыгин первыми в мире разработали методику применения теории функций комплексного переменного (ТФКП) для вычисления траекторий обтекания крыловых профилей и других цилиндрических тел, вычисления подъёмной силы крыла, коэффициента давления и других важнейших аэродинамических характеристик обтекаемых тел.

Н.Е.Жуковский указал простое преобразование одной комплексной плоскости на другую:

(19)

Здесь комплексные переменные и , а - положительное число.

Преобразование (19) названо преобразованием Н.Е.Жуковского. Оно является конформным преобразованием и обладает следующими свойствами:

1. однозначно и взаимно отображает точки, кривые и области одной плоскости в точки, кривые и области другой плоскости;

2. сохраняет геометрическое подобие бесконечно малых фигур;

3. сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения;

4. бесконечно удалённая точка плоскости отображается в бесконечно удалённую точку в плоскости ;

5. направление скорости на бесконечности (угол атаки ) в плоскости и в плоскости совпадают.

Плоскость комплексного переменного называют вспомогательной плоскостью, а плоскость комплексного переменного , как уже указывалось, называют физической плоскостью или плоскостью течения.

Замечательные свойства преобразования Н.Е.Жуковского покажем на примерах:

Окружность радиуса вспомогательной плоскости (эту окружность называют основной окружностью) отображается на вырез в физической плоскости – отрезок длиной 2 вдоль оси х.

Окружности радиуса R > c вспомогательной плоскости с центром в начале координат отображаются в софокусные эллипсы с фокусами в точках (- с, 0) и (+с,0), с полуосями:

(20)

Окружность радиуса

(R=22 мм; с = 20 мм, ) с центром на оси 0х и проходящая через точку (+с,0), отображается в физической плоскости в симметричный профиль Н.Е.Жуковского, который обычно называют рулём Жуковского.

Рассмотрим во вспомогательной плоскости комплексного переменного окружность радиуса R > C, центр которой смещён влево вдоль оси 0х на небольшую величину , и вверх вдоль оси 0у на небольшую величину .

Окружность с центром в точке (- , + ) проходит через точку (+с,0).

Преобразование Н.Е.Жуковского отображает такую окружность в асимметричный профиль Н.Е.Жуковского, который во всех учебниках и университетах мира называют аэродинамическим или крыловым профилем Жуковского.

3. Обтекание тел (круга, эллипса, крыловых профилей)

Пора изложить основную идею применения ТФКП в аэродинамике, если Вы ещё не догадались сами. Допустим, мы умеем вычислять траектории обтекания кругового цилиндра при плоском движении идеальной несжимаемой жидкости. Допустим, например, что мы сумели построить во вспомогательной плоскости траектории обтекания кругового цилиндра равномерным потоком жидкости или газа с выбранным углом атаки.

Если теперь мы применим преобразование Н.Е.Жуковского к окружности и к траекториям во вспомогательной плоскости, то в физической плоскости мы получим:

- пластину, эллипс, руль или крыловой профиль выбранных нами размеров и формы,

- траектории обтекания пластины, эллипса, руля или крылового профиля.

Зная траектории, мы сможем вычислить в любой точке пространства направление и величину вектора скорости, а пользуясь уравнением Бернулли и давление, а, следовательно, и аэродинамические характеристики обтекаемого тела.

Картину обтекания кругового цилиндра позволяет вычислить комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра. Комплексный потенциал обтекания во вспомогательной плоскости кругового цилиндра радиуса R потоком жидкости или газа со скоростью на бесконечности , с углом атаки , равен

(21)

Из ранее изложенного (см. уравнение 16) следуют очень важные формулы:

, (22)

которые позволяют найти функцию и вычислить траектории частиц жидкости во вспомогательной плоскости.

Применим теперь преобразование Н.Е.Жуковского к точкам смещённого круга, к точкам траекторий и получим картину обтекания аэродинамического профиля Жуковского. Пунктиром показана траектория, соответствующая нулевому значению линии тока.

Мы говорили об однозначности конформного преобразования. Но есть исключение из этого правила: в некоторых точках, называемых особыми точками, нарушается основное свойство конформного преобразования - сохранение углов между касательными к преобразуемым контурам. Такой точкой является задняя острая кромка крылового профиля Н.Е.Жуковского. И совершенно неясно, как найти единственное правильное решение.

В 1909 году на семинаре кафедры в МВТУ Н.Е.Жуковский делал доклад на эту тему, и С.А.Чаплыгин в дискуссии по этому докладу выдвинул предложение, которое получило позже название «постулат Жуковского-Чаплыгина»: