Метод лінійної інтерполяції

[6]

перепозначимо t₂-t₁=t₀, t-t₁=τ

для

Фільтрування сигналів технологічних параметрів від завад

При розробці фільтрів необхідно виконати декілька основних умов

1. Математичні сподівання вихідного сигналу фільтра має дорівнювати математичному сподіванню вхідного сигналу

2. Сума середньоквадратичних відхилень значень вхідного та вихідного повинна бути мінімальною, тобто повинна бути збережена форма сигналу

[7]

Оскільки в сучасних системах керування фільтри як інші елементи реалізують в дискретній (цифровій) формі, то необхідно розглянути для їх опису основи теорії дискретних систем.

Застосування прямого z перетворювача для моделювання дискретних елементів

[8]

Роботу такого імпульсного елементу можна представити як роботу модулятора δ функції з періодом t₀

Маємо послідовність δ функцій з періодом t₀

Тоді на виході імпульсного елементу отримаємо послідовність дискретних значень g*

(1)

Рівняння (1) описує послідовність дискретних значень, отриманих на виході імпульсного елементу.

Застосуємо пряме перетворення Лапласа для цієї функції

Лекція №4

Для систем без випередження всі відліки функції g*(t) при t<0 є нульові

Розглянемо діапазон n(0;+∞)

Для кожного фіксованого “n” – “g”(nt₀) є константою, тому її можна винести за знак прямого перетворення Лапласа. Крім того перетворення від суми є сума перетворень, отримаємо:

Зробимо заміну неперервний час t на послідовність відліків nt₀.

Враховуючи що для фіксованого t e^-nt0p є константою, винесемо цей вираз з під інтегралу

Введемо позначення z= e^t0p

(1)

(1) – пряме перетворення Лапласа для дискретних функцій (z перетворення)

Із рівняння (1) видно, що зображення g(z) для дискретних функцій може бути отримане не тільки за аналітичним виразом функції, а і за послідовністю відліків дискретної функції

Приклад 1

Знайти z перетворення одиничного стрибкоподібного сигналу.

[9]

Користуючись формулою геометричної прогресії отримаємо

Приклад 2

Знайти z перетворення імпульсної перехідної функції, заданої послідовністю відліків.

[10]

Ми отримали простий вираз z перетворення , тому що ІПФ має скінчену кількість ненульових відліків

FIR – finite impulse

Властивості z перетворення

1. Лінійність

2. Зсув аргументу оригіналу

А) зсув за часом праворуч, або теорема запізнення

Б) зсув за часом ліворуч або теорема випередження

3. Диференціювання зображень функції по z

4. Властивість згортки функції

Z перетворення типових функцій

Оригінал f(t)	Зображення по Лапласу	z-зображення
σ	1	1
1(t)	1/p
t	1/p2
	1/p3

Приклад 3

Отримати z-перетворення функції для якої зображення по Лапласу має вигляд:

Дискретна функція передачі елементу

Z перетворення сигналів (вхідних або вихідних) у більшості випадків можна представити як поліном від оператора z, тоді функцію передачі можна записати у вигляді:

(2)

Формою (2) незручно користуватись для опису реальних технічних систем, оскільки при переході від такої форми до рівняння системи із застосуванням теореми випередження отримуємо у рівнянні майбутні відліки вхідного і вихідного сигналу.

Розділимо чисельник і знаменник на d_kz^k

Замінимо

(3)

Форму (3) будемо застосовувати для опису дискретної функції передачі до різницевого рівняння системи , яке зв’язує відліки вхідного та вихідного сигналу

При виводі рівняння приймемо m=K