Доверительные интервалы:

,

.

предельная ошибка для каждого показателя:

.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение у_р определяется путем подстановки в уравнение регрессии у_х = а + bх соответствующего (прогнозного) значения х_р.

Средняя стандартная ошибка прогноза .

,

Доверительный интервал прогноза

.

Множественная регрессия

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

у = f(х₁,х₂,…,х_р),

где у - зависимая переменная (результативный признак);

х₁,х₂,…,х_р - независимые переменные (факторы).

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное воздействие их на моделируемый показатель.

Требования к факторам:

1. быть количественно измеримыми (качественным факторам придают количественную определённость, например, проставляя баллы);

2. не должны быть коррелированными между собой и тем более находиться в точной функциональной связи.

Отбор факторов обычно проводится в две стадии:

1. отбираются факторы исходя из сути проблемы;

2. на основе матрицы показателей корреляции и определения t-статистики для параметров регрессии.

Автокорреляция

статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Мультиколлинеарность (multicollinearity) –

положение, при котором две или более независимых переменных, входящих в уравнение регрессии, являются сильно коррелированными. При этом коэффициенты регрессии становятся неустойчивыми к малым изменениям в данных.

Считается, что если коэффициент корреляции превышает 0,8 (эмпирическое правило), то мультиколлинеарность присутствует.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

1) Линейная

;

2) Степенная

;

3) гиперболическая, используется при обратных связях признаков:

.

Сумма эластичности фиксирует обобщенную харак­теристику эластичности производства.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

.

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

.

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде

.

При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х₁ при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле

.

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции.

Скорректированный индекс множественной детерминации держит поправку на число степеней свободы в формуле

,

где n - число наблюдений;

m - число факторов.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

.

Частный F-критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде для фактора х_i, частный F-критерий определится как

.