Устойчивость двойственных оценок

Двойственные оценки при некотором изменении запасов ресурсов называются устойчивыми, если при решении измененной ЗЛП эти двойственные оценки не изменяются. Разумеется, обеспечить устойчивость двойственных оценок можно только в определенных границах. Эти границы определяются следующей теоремой.

Теорема. При изменении объёма ресурсов двойственные оценки будут устойчивыми, если выполняется неравенство:

(14)

В формуле (14) вектор означает первоначальный объём ресурсов. Матрица составлена, как уже указывалось выше, из столбцов последней симплекс-таблицы, соответствующих первоначальному базису. Например, если изменить запасы ресурсов в ранее рассмотренной задаче на величину (штрих означает транспонирование, а знак минус уменьшение объёма третьего ресурса ), то можно проверить условие устойчивости так:

Таким образом, при данном изменении объёмов ресурсов двойственные оценки не изменятся (будут устойчивыми).

Новое значение целевой функции при измененных ресурсах можно определить по выражению:

.

Значение находим с использованием первой теоремы двойственности:

.

Применяя результаты нашего примера, получим

. Отсюда

Выражение (14) можно также использовать для определения границ устойчивости двойственных оценок по ресурсам. Однако неравенство (14) представляет собой многогранник в многомерном пространстве, и совместное решение довольно сложно. Поэтому целесообразно решать эти неравенства по каждому из ресурсов отдельно, принимая все остальные ресурсы неизменными.

Транспортная задача Постановка транспортной задачи

Транспортная задача (ТЗ)-частный случай ЗЛП, который в силу своих особенностей допускает решение более простыми методами. В задаче имеются следующие исходные данные:

• есть m пунктов отправления (ПО), или поставщиков, или баз , где находятся запасы груза ;

• есть n пунктов назначения (ПН), или потребителей, или получателей , подавших заявки на единиц груза;

• известны тарифы , или стоимость перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю.

Найти план перевозок, имеющий минимальную стоимость, позволяющий вывезти все грузы с ПО и удовлетворить потребности всех потребителей.

Обозначим через объём перевозок от i-го поставщика к j-му потребителю. Рассмотрим распределительную (транспортную) таблицу:

ПН ПО	B1	B2	…	Bn	Запасы
А1	C11 x11	C12 x12	…	C1n x1n	a1
А2	C21 x21	C22 x22	…	C2n x2n	a2
	…	…	…	…
Аm	Cm1 xm1	Cm2 xm2	…	Cmn xmn	am
Потребности	b1	b2	…	bn

Строки таблицы соответствуют базам, а столбцы-заказчикам. Например, перевозка груза с 3-й базы 2-му заказчику соответствует клетке на пересечении строки А₃ и столбца В₂.

Составим экономико-математическую модель задачи. Будем считать, что общее количество запасов на всех базах равно общему объёму заявок потребителей (такая ТЗ называется закрытой).

Составим ограничения по запасам. Очевидно, что все запасы должны быть вывезены. Поэтому суммарный объём перевозок с каждой базы (т.е. сумма значений перевозок по каждой строке таблицы) должна равняться соответствующему запасу:

(1)

Составим ограничения по потребностям. Поскольку каждый потребитель должен получить точно заказанное количество единиц груза, сумма перевозок по каждому столбцу транспортной таблицы будет равна объёму заказа:

(2)

Ограничения на переменные, которые по смыслу должны быть неотрицательными, имеют обычный вид:

(3)

Целевая функция имеет смысл общей стоимости всех перевозок, которая должна быть минимальна:

(4)