Пример 3
Условия задачи: К горизонтальной поверхности массива грунта приложена сила Р = 1000 кН. Определить величины вертикальных составляющих напряжений σz в точках массива грунта, расположенных в плоскости действия сил:
1) по вертикали I-I, проходящей на расстоянии r = 2 м от точки приложения силы Р (точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1, 2, 4 и 6 м);
2) по горизонтали II-II, проходящей на расстоянии z = 3 м от поверхности массива грунта (точки по горизонтали расположить вправо и влево от оси действия силы Р на расстоянии 0, 1 и 3 м).
Решение
1) Определим напряжения в точках, расположенных по вертикали I-I. Результаты вычислений представим в табличной форме (таблица 3.2).
Таблица 3.2
Номер точки |
z, м |
r/z |
К |
σz, кПа |
1 |
1 |
2/1 = 2 |
0,0085 |
0,0085 х 1000/12 = 85 |
2 |
2 |
2/2 = 1 |
0,0844 |
0,0844 х 1000/22 = 21,1 |
3 |
4 |
2/4 = 0,5 |
0,2733 |
0,2733 х 1000/42 = 17,08 |
4 |
6 |
2/6 = 0,333 |
0,3669 |
0,3669 х 1000/62 = 10,19 |
2) Определим напряжения в точках, расположенных по горизонтали II-II. Результаты вычислений представим в табличной форме (таблица 3.3).
Таблица 3.3
Номер точки |
r, м |
r/z |
К |
σz, кПа |
5 |
0 |
0/3 = 0 |
0,4775 |
0,4775 х 1000/32 = 53,05 |
6 |
1 |
1/3 = 0,333 |
0,3669 |
0,3669 х 1000/32 = 40,77 |
7 |
3 |
3/3 = 1 |
0,0844 |
0,0844 х 1000/32 = 9,38 |
3) Строим эпюры распределения напряжений по полученным значениям σz (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2 – Эпюры распределения напряжений в грунте
от действия сосредоточенной силы
Задача 4
определение напряжений в грунте
от равномерно-распределенной прямоугольной нагрузки
Эта задача моделирует распределение напряжений в грунте основания под подошвой отдельно стоящих прямоугольных фундаментов.
Нормальные сжимающие напряжения от действия равномерно-распределенной прямоугольной нагрузки σzр определяются:
– для точек расположенных под центром прямоугольника (точ-ка О)
;
(4.1)
– для точек расположенных под углом прямоугольника (точ-ка С)
,
(4.2)
где α – коэффициент, принимаемый по таблице 4.1 в зависимости от соотношения сторон η = l/b прямоугольника и относительной глубины, равной ξ = 2z/b – при вычислении σzр, о и ξ = z/b – при вычислении σzр, с.
Используя формулу (4.2) можно найти напряжения в любой точке полупространства по методу угловых точек. Метод угловых точек для определения сжимающих напряжений применяют в случае, когда грузовая площадь может быть разбита на такие прямоугольники, чтобы рассматриваемая точка оказалась угловой. Тогда сжимающее напряжение в этой точке на любой глубине будет равно алгебраической сумме напряжений от прямоугольных площадей загрузки, для которых эта точка является угловой.
Рассмотрим три основных случая.
1) Точка М находится на контуре прямоугольника внешних воздействий (рисунок 4.1, а). В этом случае величина σzр на заданной глубине z под точкой М определяется как сумма двух угловых напряжений соответствующих прямоугольников 1 и 2, т.е.:
.
2) Точка М находится внутри прямоугольника давлений (рисунок 4.1, б). В этом случае необходимо суммировать угловые напряжения от четырех прямоугольных площадей загрузки 1, 2, 3 и 4:
.
3) Точка М находится вне прямоугольника давлений (рису- нок 4.1, в). В этом случае напряжение в точке М складывается из суммы напряжений от действия нагрузки по прямоугольникам 1 и 2, взятых со знаком «плюс», и напряжений от действия нагрузки по прямоугольникам 3 и 4, взятых со знаком «минус» (фиктивной нагрузки):
.
Рисунок 4.1 – Схемы разбивки прямоугольной площадки загрузки
при определении напряжений по методу угловых точек
Таблица 4.1 – Значение коэффициента α для расчета напряжений в грунте основания
= 2z/b |
= l/b |
||||||
1,0 |
1,4 |
1,8 |
2,4 |
3,2 |
5 |
≥10 |
|
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 |
1,000 0,960 0,800 0,606 0,449 0,336 |
1,000 0,972 0,848 0,682 0,532 0,414 |
1,000 0,975 0,866 0,717 0,578 0,463 |
1,000 0,976 0,876 0,739 0,612 0,505 |
1,000 0,977 0,879 0,749 0,629 0,530 |
1,000 0,977 0,881 0,754 0,639 0,545 |
1,000 0,977 0,881 0,755 0,642 0,550 |
2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 |
0,257 0,201 0,160 0,131 0,108 |
0,325 0,260 0,210 0,173 0,145 |
0,374 0,304 0,251 0,209 0,176 |
0,419 0,349 0,294 0,250 0,214 |
0,449 0,383 0,329 0,285 0,248 |
0,470 0,410 0,360 0,319 0,285 |
0,477 0,420 0,374 0,337 0,306 |
4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 |
0,091 0,077 0,067 0,058 0,051 |
0,123 0,105 0,091 0,079 0,070 |
0,150 0,130 0,113 0,099 0,087 |
0,185 0,161 0,141 0,124 0,110 |
0,218 0,192 0,170 0,152 0,136 |
0,255 0,230 0,208 0,189 0,173 |
0,280 0,258 0,239 0,223 0,208 |
6,4 6,8 7,2 7,6 8,0 |
0,045 0,040 0,036 0,032 0,029 |
0,062 0,055 0,049 0,044 0,040 |
0,077 0,064 0,062 0,056 0,051 |
0,099 0,088 0,080 0,072 0,066 |
0,122 0,110 0,100 0,091 0,084 |
0,158 0,145 0,133 0,123 0,113 |
0,196 0,185 0,175 0,166 0,158 |
8,4 8,8 9,2 9,6 10,0 |
0,026 0,024 0,022 0,020 0,019 |
0,037 0,033 0,031 0,028 0,026 |
0,046 0,042 0,039 0,036 0,033 |
0,060 0,055 0,051 0,047 0,043 |
0,077 0,071 0,065 0,060 0,056 |
0,105 0,098 0,091 0,085 0,079 |
0,150 0,143 0,137 0,132 0,126 |
10,4 10,8 11,2 11,6 12,0 |
0,017 0,016 0,015 0,014 0,013 |
0,024 0,022 0,021 0,020 0,018 |
0,031 0,029 0,027 0,025 0,023 |
0,040 0,037 0,035 0,033 0,031 |
0,052 0,049 0,045 0,042 0,040 |
0,074 0,069 0,065 0,061 0,058 |
0,122 0,117 0,113 0,109 0,106 |
Примечание – Для промежуточных значений и коэффициент α определяется интерполяцией |
|||||||
Для выполнения задачи № 4 необходимо выбрать исходные данные из таблицы А.4 приложения А. Выбор варианта задания производится по сумме последних трех цифр зачетки.