Общий случай построения линии пересечения двух кривых поверхностей

В общем случае линию пересечения двух кривых поверхностей между собой строят по точкам, которые находят с помощью вспомогательных секущих поверхностей – плоскостей и поверхностей.

Две криволинейные поверхности пересекают третьей вспомогательной секущей поверхностью, находят линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных. Линии пересечения пересекаются между собой и дают точки общей линии пересечения заданных поверхностей.

Повторяя такие построения многократно, находят необходимое количество общих точек (явных, характерных, случайных) двух поверхностей для проведения линии их пересечения.

Общее правило построения линии пересечения поверхностей:

- выбирают вид вспомогательных поверхностей;

- строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;

- находят точки пересечения построенных линий и соединяют между собой.

В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются на чертеж в графически простые линии – прямые и окружности. В качестве вспомогательных поверхностей можно, например, использовать плоскости или сферы.

Общий случай построения линии пересечения двух многогранных поверхностей

При построении линии пересечения двух многогранников применяют два способа и их комбинации.

1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго многогранника с гранями первого.

Через построенные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой и плоскости.

В общем случае все предлагаемые к решению задачи можно разделить на три типа по расположению пересекающихся поверхностей относительно плоскостей проекций.

К первому типу будут относиться такие задачи, в которых каждая из пересекающихся поверхностей находится в проецирующем положении по отношению к одной из плоскостей проекций. В этом случае проекции линий пересечения совпадут полностью или частично с проекциями тех поверхностей, которые являются проецирующими на данную плоскость проекций.

Ко второму типу задач будут относиться такие, в которых одна из пересекающихся поверхностей находится в проецирующем положении по отношению к плоскости проекций, а вторая – в не проецирующем. В этом случае одна проекция линий пересечения будет совпадать полностью или частично с проекцией той поверхности, которая находится в проецирующем положении. Вторую проекцию линии пересечения достраиваем по точкам из условия принадлежности их простейшим для построения (прямым или окружностям) линиям не проецирующей поверхности.

К третьему типу задач будут относиться задачи, в которых обе пересекаемые поверхности занимают не проецирующее положение. В этом случае выбор метода решения зависит от положения самих поверхностей относительно друг от друга. Если пересекаемые поверхности относятся к поверхностям вращения, оси вращения которых параллельны между собой и параллельны одной и той же плоскости проекций, то в качестве посредников выбирают секущие плоскости, находящиеся в положении уровня.

Если пересекаемые поверхности относятся к поверхностям вращения, оси вращения которых пересекаются между собой и параллельны одной и той же плоскости проекций, то в качестве посредников выбирают секущие концентрические сферы.

Прежде, чем приступать к решению задачи, нужно проанализировать задание поверхностей и их взаимное расположение, чтобы выявить количество и характер линий пересечения, а также подобрать соответствующий метод решения.

Анализ задачи:

1. Прочитать эпюр, назвать пересекающиеся поверхности.

2. Выявить характер пересечения, количество линий пересечения. Если пересечение полное, то в результате пересечения будет две лини пересечения – линия входа и линия выхода. Если пересечение неполное (врезание), то в результате пересечения получается одна линия пересечения. Если в пересечении одна поверхность касается другой, то линия пересечения распадается на части, которые будут иметь общие точки.

3. Выявить характер линии пересечения.

Если пересекаются две многогранные поверхности, то в результате пересечения получаются линии пересечения в виде ломаных линий. Они могут быть как плоскими, так и пространственными.

Если пересекаются поверхности вращения, то в результате пересечения линия пересечения всегда представляет собой пространственную кривую линию (исключением будет являться случай, когда две поверхности вращения описаны или вписаны вокруг третьей).

Если пересекаются поверхность вращения и многогранная поверхность, то в результате пересечения получается пространственная комбинированная линия, состоящая из сочетания простых линий (прямых и кривых). В этом случае следует подробно описать характер каждой составляющей.

4. Определить положение поверхностей относительно плоскостей проекций и определить тип задачи.

5. После определения типа задачи выбрать метод решения.

План решения задач I типа:

1. Отмечаем тонкой штриховой линией известные проекции линии пересечения, которые могут совпадать полностью или частично с проекциями поверхностей.

2. Уточняем видимость поверхностей.

План решения задач II типа:

1. Обводим свободные от взаимного наложения проекции поверхностей основными сплошными толстыми линиями.

2. Отмечаем тонкой штриховой линией известную проекцию линии пересечения.

3. Отмечаем проекции опорных точек линии пересечения:

-очевидных точек

-характерных точек, к ним отнесем точки видимости, в которых линия пересечения из видимой переходит в невидимую, а также экстремальные точки, т.е. точки наиболее или наименее удаленные от плоскостей проекций. Далее следует отметить проекции точек, принадлежащих характерным линиям, например, точки пересечения ребер многогранных поверхностей с гранями или боковой поверхностью второй поверхности пересечения.

4. Находим недостающие проекции указанных точек из условия принадлежности их линиям не проецирующей поверхности.

5. Далее следует соединить полученные проекции точек в определенной последовательности соответствующими по назначению линиями с условием видимости.

6. Уточняем видимость поверхностей, и при необходимости в местах наложения проекций пересекающихся поверхностей вводим линии видимого и невидимого контура.

План решения задач III типа методом секущих плоскостей-посредников:

Такие посредники могут использоваться при построении линии пересечения поверхностей вращения, оси которых параллельны между собой и параллельны одной и той же плоскости проекций.

1. Обводим свободные от взаимного наложения проекции поверхностей основными сплошными толстыми линиями. Обозначаем оси поверхностей вращения.

2. При необходимости вводим плоскости симметрии для определения экстремальных точек (наиболее и наименее удаленных точек от горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций).

3. Отмечаем проекции очевидных точек линии пересечения.

4. Ниже верхних очевидных точек линии пересечения проводим плоскость параллельно одной из плоскостей проекций, которая пересечет каждую из поверхностей по окружности. Эти простейшие линии пересечения проецируются на одну плоскость проекций в виде отрезков прямых, а на другую – в виде окружностей. На одной из плоскостей проекций проекции линий пересечения будут иметь общие точки, недостающие проекции полученных общих точек достраиваются по линиям связи на след введенной секущей плоскости.

5. Далее следует повторять введение секущих плоскостей с определенной частотой, учитывая при этом плоскость, содержащую точки видимости.

6. Полученные проекции точек на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций соединяем плавной кривой в определенной последовательности и с учетом видимости.

7. Уточняем видимость поверхностей, при необходимости в местах наложения проекций пересекающихся поверхностей вводим линии видимого и невидимого контура.

План решения задач III типа методом секущих сфер-посредников:

Такие поверхности-посредники могут использоваться при построении линии пересечения поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций.

Центром вспомогательных концентрических сфер служит точка пересечения осей вращения.

Применение сфер-посредников обосновывается тем, что любая поверхность вращения, ось которой проходит через центр сферы, пересекается с ней по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности. Если ось поверхности вращения параллельна какой-либо плоскости проекций, то на указанную плоскость окружность пересечения проецируется в виде отрезка прямой, перпендикулярного проекции оси вращения.

Проекции сфер-посредников проводятся на той плоскости проекций, относительно которой оси вращения располагаются параллельно.

Для нахождения вспомогательной сферы, минимальной по радиусу, которая бы вписывалась в одну поверхность, одновременно пересекаясь с другой, необходимо провести перпендикуляры из точки пересечения проекций осей поверхностей вращения до проекций очерковых пересекающихся поверхностей. Тот перпендикуляр, который будет большим, и будет являться радиусом минимальной сферы. Радиусом максимальной сферы будет являться расстояние от точки пересечения проекций осей поверхностей вращения до наиболее удаленной проекции очевидной точки линии пересечения.

Итак, для нахождения точек линии пересечения необходимо:

1. Обвести свободные от взаимного наложения проекции поверхностей основными сплошными толстыми линиями. Обозначить оси поверхностей вращения. Ввести плоскость симметрии, которая проходит через эти оси.

2. Отметить проекции очевидных точек линии пересечения.

3. Найти радиус минимальной и радиус максимальной сфер-посредников и провести их, отметив на чертеже Rmin и Rmax.

4. Построить проекции точек линии пересечения, которые получатся в результате касания и пересечения сферы-min двух поверхностей. Эти точки сориентируют направление линий пересечения.

5. Найти промежуточные точки линий пересечения от промежуточных сфер-посредников, находящихся между сферами Rmin и Rmax.

6. Соединить плавной кривой проекции точек линий пересечения в определенной последовательности.

7. Найти плоскость видимости и определить видимость линий пересечения.

8. Соединить плавной кривой на второй плоскости проекций проекции точек линии пересечения в определенной последовательности и с учетом видимости.

9. Уточнить видимость поверхностей, при необходимости в местах наложения проекций пересекающихся поверхностей вводим линии видимого и невидимого контура.

ЗАДАЧА 6 (лист 4).

Построить развертку заданной боковой поверхности. Варианты задания выбрать из Приложения 1. Пример выполнения на рис. 4.

Методические указания к решению задачи.

1. На листе чертежной бумаги формата А4 (210х297) начертить изображение поверхности (горизонтальную и фронтальную проекции), сохраняя размеры, приведенные в задании. Задание оформить основной надписью по форме 1.

2. Выполнить развертку боковой поверхности заданного геометрического тела, сохранив все построения на чертеже.

Таблица 2. Данные к задачам 3 м 4 (координаты в мм)

Вариант	A			B				C				D
	x	y	z		x	y	z		x	y	z		x	y	z
1	19	30	24		72	12	80		102	70	0		42	80	65
2	18	66	40		55	12	72		96	30	18		84	56	66
3	96	38	18		48	6	78		12	60	48		68	62	62
4	18	46	14		65	10	74		102	64	44		38	76	68
5	30	34	12		72	60	12		102	0	72		30	60	55
6	40	68	16		90	30	70		0	10	45		17	66	80
7	55	72	30		5	24	6		78	30	84		35	70	65
8	18	36	18		66	6	78		102	60	48		38	72	72
9	96	36	72		72	12	24		30	78	48		96	60	40
10	55	6	66		102	60	12		24	30	0		30	60	55
11	102	34	12		48	60	12		18	0	72		90	60	55
12	55	30	64		6	54	18		84	24	6		84	71	59
13	18	24	30		72	60	12		102	0	72		42	66	60
14	72	6	66		108	72	45		42	44	0		55	66	50
15	102	24	30		48	60	12		18	0	72		78	66	60
16	55	22	72		6	6	24		78	78	57		40	65	65
17	55	6	66		6	66	12		84	30	0		84	50	43
18	102	12	24		48	12	60		22	72	0		90	55	60

Рисунок 1. Пример выполнения листа 1

Рисунок 2. Пример выполнения листа 2

Приложение 1

Вариант 1

Задача 5 Задача 6

В ариант 2

Задача 5 Задача 6

Вариант 3

Задача 5 Задача 6

Вариант 4

Задача 5 Задача 6

В ариант 5

Задача 5 Задача 6

В ариант 6

Задача 5 Задача 6

В ариант 7

Задача 5 Задача 6

В ариант 8

Задача 5 Задача 6

Вариант 9

Задача 5 Задача 6

В ариант 10

Задача 5 Задача 6

Вариант 11

Задача 5 Задача 6

Вариант 12

Задача 5 Задача 6

Вариант 13

Задача 5 Задача 6

Вариант 14

Задача 5 Задача 6

Вариант 15

Задача 5 Задача 6

В ариант 16

Задача 5 Задача 6

Вариант 17

Задача 5 Задача 6

Вариант 18

Задача 5 Задача 6

Рисунок 3. Пример решения задачи 5

Анализ задачи:

1. Заданы: T – призматическая поверхность, поверхность многогранная.

S – сферическая поверхность, поверхность вращения.

2. Призма врезается в сферу, в результате пересечения получается одна линия пересечения.

3. Линия пересечения будет пространственной комбинированной линией т.к. пересекаются поверхность вращения и многогранная поверхность. Линия пересечения будет состоять из трех дуг окружностей, две из которых проецируются на фронтальную плоскость в виде участков эллипсов, а одна – в виде дуги окружности.

4. Призматическая поверхность находится в проецирующем положении по отношению к горизонтальной плоскости проекций, а сферическая поверхность – не проецирующая. Задача относится ко второму типу пересечения.

5. Горизонтальная проекция линии пересечения полностью совпала с горизонтальной проекцией призмы, фронтальная проекция линии пересечения достраивается по точкам из условия принадлежности их линиям сферической поверхности (окружностям уровня).

Решение:

1. Обводим свободные от взаимного наложения проекции поверхностей сплошными толстыми линиями.

2. Тонкой штриховой линией обводим известную горизонтальную проекцию линии пересечения, полностью совпадающую с горизонтальной проекцией призмы.

3. Отмечаем опорные точки линии пересечения на горизонтальной плоскости:

- очевидные точки - 1′, A′ и B′;

- характерные точки: 2′ и 3′ – точки пересечения ребер призмы с поверхностью сферы, точки видимости – А′ и В′, в них линия пересечения меняет видимость, т.к. плоскость видимости Q проходит по главному меридиану сферы;

- экстремальные точки: наиболее удаленные от горизонтальной плоскости для каждой грани – 4′, 5′ и 6′;

- случайные точки, равномерно расположенные по линии пересечения для более точного построения последней: 7′, 8′, 9′ и 10′.

4. Находим недостающие проекции указанных точек:

1′′ - по линиям связи на фронтальную проекцию экватора сферы;

- точки А′′ и В′′ – по линиям связи на фронтальную проекцию главного меридиана сферы, остальные точки – при помощи окружностей сферы соответствующего радиуса, параллельных фронтальной плоскости.

5. Соединяем плавной кривой линией полученные фронтальные проекции точек в определенной последовательности и с учетом видимости.

6. Уточняем видимость поверхностей: проекции очерков видимы до точек видимости.

Рисунок 4. Пример решения задачи 6.

Задача 7.

Построение перспективы группы призматических тел.

Варианты задания приведены ниже. Образец выполнения- на рисунке 5.

Методические указания к решению задачи.

Целью данного задания является изучение метода центрального проеци­рования на картинную плоскость.

В индивидуальном задании заданы:

1) две проекции группы призматических тел в масштабе 1:4;

2) высота горизонта Н задана на фронтальной плоскости линией h - h.

Требуется построить перспективную проекцию данной группы призмати­ческих тел.

Порядок выполнения задания

2.1. В соответствии с вариантом задания на листе формата A3 в левой части изобразить две проекции группы призматических тел в масштабе 1:1.

2.2. Выбрать точку S и угол зрения φ и произвести ориентировку кар­тиной плоскости.

2.3. Построение осуществить методом "архитекторов" с использова­нием точек схода параллельных прямых.

2.3.1. Линии контура разделить на два пучка параллельных прямых.

2.3.2. Определить перспективы несобственных точек каждого из пучков прямых.

2.3.3. Определить точки начала этих прямых.

2.3.4. Перенести точки со следа картины на картинную плоскость.

2.3.5. Построить вторичные проекции и перспективы этих прямых.

2.3.6. Определить точки вершин контура заданной группы тел.

2.3.7. Соединить полученные точки с учетом видимости

Задача 8.

Построение собственных и падающих теней в аксонометрической проекции группы призматических тел.

Методические указания к решению задачи.

Целью этого задания является ознакомление с принципом построения те­ней на чертеже.

В индивидуальном задании даны две проекции группы призматических тел в масштабе 1:4.

Требуется построить собственные и падающие тени данной группы тел в аксонометрической проекции.

Порядок выполнения задания

3.1. В соответствии с вариантом задания видов аксонометрической проекции на листе формата A3 построить аксонометрическую проекцию данной группы тел.

3.2. Построить лучевой треугольник .

3.3. Определить контур (видимой) собственной тени и заретушировать или заштриховать собственную тень.

3.4. Определить контур тени, падающей на горизонтальную плоскость, и заретушировать темнее или заштриховать более частой штриховкой, чем соб­ственную тень.

Образец выполненного задания приведен на рис.6.

Варианты задач 7и 8.

Рис.5. Пример выполнения задачи 7 «Построение перспективы группы призматических тел »

Варианты заданий видов аксонометрической проекции для задачи 8

Номер варианта	Аксонометрическая проекция
1; 5; 9, 13; 17;	Прямоугольная изометрия
2; 6; 10; 14; 18;	Прямоугольная диметрия
3; 7; 11; 15;	Косоугольная изометрия
4; 8; 12; 16;	Косоугольная диметрия

Рис 6. Пример выполнения задачи 8 «Построение собственных и падающих теней в аксонометрической проекции группы призматических тел».

Задача 9.

Построение фронтальной перспективы интерьера помещения

Целью данного задания является изучение метода построения перспекти­вы радиальным способом.

В индивидуальном задании дано:

1) в ортогональных проекциях план комнаты и фронтальный разрез по окну и двери в масштабе 1:200;

2) плоскость разреза совпадает с картинной плоскостью;

3) точка зрения S находится на высоте Н от пола;

4) высота Н задана на фронтальной плоскости линией h - h .

Требуется построить фронтальную перспективу данного интерьера по­мещения.

Порядок выполнения задания

4.1. В соответствии с вариантом задания на листе формата А4 изображаем ортогональные проекции помещения в масштабе 1:50.

4.2. Построение провести радиальным методом.

4.2.1. Определить проекции точки зрения S и главной точки картины Р.

4.2.2. Разбить контуры помещения и предметы, находящиеся в нем, на отрезки прямых.

4.2.3. Построить перспективные проекции всех этих отрезков прямых. Образец выполненного задания приведен на рис.7.

Варианты заданий для задачи 9.

Рис.7. Пример выполнения графического задания «Построение фронтальной перспективы интерьера помещения»

Задача 10. «Построение на топографической поверхности». Варианты задания приведены ниже. Образец выполнения приведен на рис.10.

Дано: топографическая поверхность, заданная горизонталями, и земляное сооружение с

указанными уклонами откосов (рисунки 8 и 9).

Откосы выемок имеют уклон 1:1, откосы насыпей – 1:1,5 и уклон дороги 1:6.

Требуется: построить линии пересечения откосов выемок и насыпей земляного сооружения (площадки и дороги) между собой и с топографической поверхностью. Форму и размеры выбирают по данным варианта:

№ варианта	1, 10	2, 11	3, 12	4, 13	5, 14	6, 15	7, 16	8, 17	9, 18
Тип сооружения	А	Б	В	Г	Д	Е	А	Б	В
Отклонение от оси Меридиана, град.	С	СЗ	С	С	СЗ	СВ	С	СЗ	ЮЗ
	0	15	0	0	15	0	15	30	15

Указания к заданию 1: Для выполнения задания необходимо проделать следующее:

1). Начертить в масштабе 1:200 план земляного участка, рельеф которого задан горизонталями (рисунок 2) и нанести на него в том же масштабе план земляного сооружения, так чтобы центр сооружения 0 совпал с центром участка 0 и ось сооружения была наклонена к меридиану под заданным углом. Горизонтали топографической поверхности обвести цветной тушью или пастой, что облегчит последующие построения карандашом, толщина линий обводки 0,1…0,2 мм. Контур земляного сооружения и линии пересечения откосов с топографической поверхностью и между собой обводят карандашом линиями толщиной 0,4…0,6 мм перпендикулярно проектным горизонталям при расстоянии между штрихами 1,5…2,5 мм; линии построения (в том числе проектные горизонтали должны иметь толщину 0,1…0,2 мм.

2). Проанализировать и обозначить все плоскости и поверхности земляного сооружения при помощи масштабов уклона. Построить горизонтали всех откосов земляного сооружения и дороги с учетом заданных уклонов для них. Для построения горизонталей необходимо при помощи графика масштаба уклонов определить величину интервалов для откосов насыпей, выемок и дороги в масштабе чертежа (1:200), затем нанести эти интервалы на масштабах уклонов всех откосов и провести горизонтали перпендикулярно масштабам уклонов.

3). Используя точки пересечения одноименных горизонталей, построить линию пересечения откосов между собой и топографической поверхностью.

Задание 2

Дано: топографическая поверхность и земляное сооружение на ней.

Требуется: построить профиль сооружения – сечение по вертикальной плоскости Е-Е.

Задание выполняется по результатам решения задания 1.

Задание 3

Дано: топографическая поверхность и земляное сооружение на ней.

Требуется: Для узла 1 (рисунок 9) задать плоскость полотна дороги в проекциях с числовыми отметками и определить линию пересечения плоскостей откоса дороги с рельефом местности.

Задание 4

Дано: топографическая поверхность и земляное сооружение на ней

Требуется: Для узла 1 (рисунок 9) построить линию пересечения плоскостей насыпи (выемки) сооружения и дороги, а также линии пересечения плоскостей насыпи(выемки) с рельефом местности.

Рисунок 8. Виды земляных сооружений

Рисунок 9. Топографическая поверхность

Рисунок 10. Пример выполнения задачи 10