12. Невизначений інтеграл

12.1. Первісна і невизначений інтеграл

Нехай на деякому проміжку Х маємо або .

Означення. Функція називається первісною для функції на деякому проміжку Х, якщо виконується рівність

Приклад 1. Функція є первісною для . Дійсно

.

Первісна для функції визначається з точністю до довільного сталого доданку С. Дійсно, якщо первісна для , то , де С – довільна стала, також є первісною для функції , оскільки

Можна довести, що це усі первісні для .

Означення. Сукупність усіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом від функції і позначається так

. (24)

У (24): – підінтегральна функція; – підінтегральний вираз; – знак інтегралу.

Згідно з означенням знаходження інтегралу зводиться до відшукання первісної.

Приклад 2. , оскільки , тобто функція є первісною для підінтегральної функції.

Приклад 3. , оскільки , тобто функція є первісною для підінтегральної функції

Приклад 4. , оскільки , тобто функція є первісною для підінтегральної функції.

12.2. Найважливіші властивості невизначеного інтегралу

З означення невизначеного інтегралу випливають такі його властивості:

1) – похідна від невизначеного інтегралу дорівнює підінтегральній функції.

2) – диференціал від невизначеного інтегралу дорівнює підінтегральному виразу.

3) – невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільної сталої.

Ці властивості свідчать, що інтегрування – це операція, обернена диференціюванню.

Серед найважливіших властивостей невизначеного інтеграла зазначимо також такі:

4) Сталий множник можна виносити з-під знака інтеграла, тобто якщо то

Справді, нехай – первісна функції , тобто Тоді буде первісною функції :

5) Невизначений інтеграл алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів кожної з цих функцій окремо, тобто

Справді, нехай і – первісні функцій і відповідно: Тоді функція є первісною функції . Отже,

12.3.Таблиця основних невизначених інтегралів

З означення невизначеного інтеграла випливають формули, які надалі називатимемо табличними інтегралами

12.4. Основні методи інтегрування функцій

Застосування основних властивостей невизначеного інтеграла, а також табличних інтегралів складають основу метода безпосереднього інтегрування.

Приклад 5. Обчислити

Врахуємо, що . Звідси, на підставі властивостей 4, 5 й табличних інтегралів 1. і 2., матимемо

Приклад 6. Обчислити

Зауважимо спочатку, що

Звідси, на підставі властивостей 4 і 5 й табличного інтеграла 1., матимемо

Приклад 7. Обчислити

Ураховуючи, що на підставі властивості 5 й табличних інтегралів 1. і 3. матимемо

Приклад 8. Обчислити Зауважимо, що

Звідси, на підставі властивості 5 й табличних інтегралів 1. і 11., матимемо

Як бачимо, мистецтво інтегрування полягає в умінні за допомогою властивостей невизначеного інтеграла перетворити підінтегральний вираз на „табличний”. Потрібно домогтися, щоб він став таким, як в одному із табличних інтегралів, або спочатку хоча б спростився. Для цього, крім методу безпосереднього інтегрування, застосовують інші методи.

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дає змогу звести обчислення даного інтеграла до знаходження табличного інтеграла. Цей спосіб називають методом заміни змінної або методом підстановки. Він базується на такій теоремі.

Теорема. Нехай функція визначена й диференційовна на проміжку Т, а проміжок Х –множина її значень. Нехай функція визначена на проміжку Х і має на ньому первісну . Тоді на проміжку Т складена функція є первісною функції , тобто

(25)

Доведення. Згідно з правилом диференціювання складеної функції, враховуючи, що , дістанемо

Отже, функція дійсно має на проміжку Т однією зі своїх первісних функцію , тобто виконується співвідношення (25).

Оскільки , то рівність (25) можна подати у вигляді

(26)

Рівність (26) називають формулою заміни змінної в невизначеному інтегралі.

Приклад 9. Обчислити

У підінтегральній функції зробимо заміну: Вважаючи, що х і t – незалежні змінні, встановимо зв’язок між диференціалами: Заміну і деякі наслідки, що з неї випливають, як правило, записують після інтеграла, який обчислюється, між двома вертикальними лініями:

Приклад 10. Обчислити

Приклад 11. Обчислити

Приклад 12. Обчислити

Приклад 13. Обчислити

Зручно зробити заміну , оскільки Отже, маємо:

Приклад 14. Обчислити

Введемо спочатку такі гіперболічні функції:

(гіперболічний синус),

(гіперболічний косинус).

Легко перевірити, що

У підінтегральній функції зручно зробити таку заміну: , оскільки Тоді маємо:

Приклад 15. Обчислити

Метод інтегрування за частинами. Нехай функції и(х) і v(x) визначені і диференційовні на деякому проміжку Х. Тоді справедлива така формула (формула інтегрування частинами):

(27)

Приклад 16. Обчислити

Приклад 17. Обчислити

Метод невизначених коефіцієнтів. Нехай дробово-раціональна функція має степінь многочлена в чисельнику менший за степінь многочлена у знаменнику. Многочлен має такий вигляд:

де – цілі числа і – дійсні числа. Тоді дробово-раціональну функцію можна єдиним чином представити у вигляді:

(28)

Вираз (28) називається розкладом дробово-раціональної функції на прості дроби. Дійсні числа – невідомі коефіцієнти цього розкладу.

Приклад 18. Обчислити інтеграл

Розкладемо спочатку підінтегральну функцію на прості дроби. Згідно з формулою (28) маємо:

Знайдемо невідомі коефіцієнти розкладу, для чого перемножимо ліву і праву частину рівності на :

Прирівнюючи далі коефіцієнти, які стоять при однакових степенях х ліворуч і праворуч рівності, отримуємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв’язуючи її, знаходимо: і Отже, шуканий розклад є таким:

Після цього обчислюємо інтеграл: