Модели и методы управления составом активных систем - Караваев А.П.

Приложение 6. Модели оперативного управления персоналом

Рассмотрим следующую динамическую модель изменения состава фирмы. Предположим, что на рынке труда имеется бесконечное множество сотрудников, каждый из которых определяется своим типом. При выборе какого-то конечного количества сотрудников (и со временем) общее распределение типов не меняется, т.е. тип нового случайно выбранного сотрудника имеет такое же распределение, как и предыдущего.

При количестве сотрудников c фирма получает прибыть fθ(c), ãäå θ определяет ту часть хороших сотрудников из общего числа, которую фирма принимает на работу. Т.е. если тип сотрудника соответствует θ 100% лучших на рынке труда сотрудников, то он гарантированно принимается на работу. В начале работы каждая фирма определяет свое θ. Заметим, что в силу разных условий труда по-

нятие "лучший сотрудник" отличается для разных фирм, поскольку один хорошо может учить детей, но плохо печет хлеб, другой хорошо печет хлеб, но не может хорошо учить детей. Тогда с точки зрения хлебопекарни у второго работника хороший тип, а у первого плохой, а с точки зрения школы у первого работника хороший тип, а у второго плохой. Поскольку процесс приема на работу ведется сразу многими фирмами, то на рынке соблюдается равновесие: первый работник принимается на работу как учитель, а второй как пекарь (доля работников с хорошим типом не уменьшается, т.к. работники с плохим типом в одной области являются хорошими сотрудниками в других областях).

Для определения типа поступающих s сотрудников фирма должна понести затраты g(s), ïðè ýòîì èç s людей на работу будут приняты только θs, поскольку

именно столько людей обладают нужным фирме типом. При приеме на работу недостаточно определить, принимать человека на работу или нет, надо точно знать

его тип для того, чтобы полнее использовать его возможности. Таким образом g(s) не зависит от θ.

Моментальная полезность фирмы есть разность между прибылью и затратами на тестирование новых сотрудников:

стандартными свойствами: fθ(0) = 0, fθ0(0) = ∞, fθ0(c) > 0, fθ00(c) < 0, fθ0(∞) = 0. Кроме того, fθ(c) убывает вместе со своей производной по θ. Там, где не будет рассматриваться изменение параметра θ, у функции fθ(c) параметр θ будем опускать: f(c).

131

Функция g(s) обладает следующими свойствами: g(0) ≥ 0, g0(0) ≥ 0, g0(s) ≥ 0, g00(s) > 0. Исходя из условий задачи c è s должны быть не меньше нуля.

Будем считать, что принятые на работу люди увольняются (по разным причи- нам переход на другую работу, выход на пенсию и т.п.) со скоростью λ. Тогда динамика изменения количества работающих людей описывается уравнением

(129) c˙ = θs − λc.

Заметим, что c è s есть функции времени: c = c(t), s = s(t), причем по смыслу функция c(t) должна быть непрерывной и почти всюду дифференцируемой, а функция s(t) может иметь конечное число разрывов на любом отрезке (соответствующих изменению управления). Управлением для фирмы является параметр s (ïðè ýòîì c определяется исходя из уравнения 129).

Предположим, что в описываемой модели существует дисконтирование прибыли в размере r. Тогда при начальном количестве сотрудников c0 задача максими- зации прибыли записывается в следующем виде:

Для решения задачи (130)-(134) запишем гамильтониан (без условий (132)- (133); их влияние будет обсуждено позднее):

ãäå µ ≥ 0 некоторая неотрицательная функция времени. Функции c(t) è s(t) будут решением задачи только тогда, когда

= re−rtg0(s) − e−rtg00(s)s˙ − θe−rtf0(c) + λe−rtg0(s);

132

Таким образом мы доказали теорему:

Теорема 4.5.2.Поведение системы (количество уже приняты сотрудников, скорость приема сотрудников) на оптимальной траектории (оптимизирующей прибыль фирмы) описывается следующей системой уравнений:

С помощью фазовой плоскости в координатах c (ось абсцисс) и s (ось ординат) опишем поведение траекторий системы (142). Нас интересует только квадрант c ≥ 0, s ≥ 0 (см. условия (132) и (133)).

Мы будем искать возможные траектории такие пути на плоскости, по которым пойдет фирма, если будет руководствоваться в выборе кадровой политики написанной выше системой уравнений. Скачки траекторий возможны только в на- чальный момент времени, т.е. только тогда, когда принимаются решения. Дальше уже фирма будет действовать в соответствии с оптимальной стратегией. Изменение стратегии может быть вызвано только изменением информации, шоками, и т.д., когда, во-первых, изменяется поле направлений на фазовой плоскости, а, во-вторых, фирма выбирает новую стратегию.

Прежде всего, прямая θs − λc делит фазовую плоскость на две части (см. рис. 5). В соответствии с первым уравнением системы (142) над этой прямой производная c по времени больше нуля, под прямой меньше нуля (соответственно на прямой производная c по времени равна нулю).

Рис. 5. Различные варианты поведения функции sˆ(c) на фазовой плоскости.

Поскольку g00(s) > 0, то знак производной s по времени определяется числителем второго уравнения системы (142). Рассмотрим его подробнее. Поскольку

133

может иметь самое большее одно решение при фиксированном c èëè s. Обозначим sˆ(c) решение уравнения (143) в зависимости от c. В силу убывания (монотонного

èнепрерывного) f0(c) и непрерывного возрастания g0(s) функция s(c) непрерывна

èмонотонно убывает. При c стремящемся к нулю f0(c) стремится к +∞, следовательно sˆ(c) стремится к +∞ поскольку g0(s) стремится к +∞ тогда и только

тогда, когда s стремится к +∞.

Поведение функции sˆ(c) существенно зависит от того, равна ли нулю производная функции g(s) в точке s = 0. Если производная равна нулю (см. рис. 5a), то при любом c существует решение уравнения (143), и функция sˆ(c) убывает до нуля при c → +∞. Åñëè æå g0(0) > 0 (см. рис. 5b), то существует такое cˆ, ÷òî s(ˆc) = 0, и функция sˆ(c) убывает на отрезке от 0 äî cˆ и неопределена при c > cˆ. В случае, когда sˆ(c) не пересекает ось s (ò.å.g0(0) = 0), будем считать cˆ = +∞.

Различные варианты поведения функции sˆ(c) изображены на рис. 5.

На фазовой плоскости производная функции s по времени над кривой sˆ(c)

положительна, под кривой отрицательна, а на кривой равна нулю. Поле направлений изображено на рис. 6. бесконечность.

B-A 6 6 ?

Рис. 6. Поле направлений для системы (142).

Обозначим точку пересечения (которая всегда существует) функции sˆ(c) c прямой θs − λc = 0 çà A (с координатами sA è cA). Как видно из поля направлений, точка A является седловой точкой, и в ней c˙ = s˙ = 0, следовательно, если фирма оказалась в точке A, то она в ней и останется. Будем называть данную точку стационарным состоянием (т.к. в системе не происходит никаких изменений). Заметим, что A не является устойчивой точкой.

Точка A есть единственная точка равновесия, в которой и количество рабочих

и скорость приема на работу не изменяются (скорость приема на работу и скорость увольнения равны). Точка А является седлом (равновесие неустойчиво), т.е. при небольшом изменении параметров мы можем перейти на траекторию, уходящую в бесконечность.

134

Из поля направлений видно, что устойчивая седловая траектория (проходящая через точку A) проходит по фазовой плоскости как показано на рисунке: слева направо, сверху вниз (иначе было бы противоречие с полем направлений). Обозначим седловую траекторию, входящую в т. A слева за B, а траекторию, вхо-

дящую в стационарную точку справа за C. Исходящие траектории обозначим за C è D (соответственно сверху и снизу).

В качестве решения задачи (130)-(134) нас интересуют только седловые траектории, поскольку при других мы либо увеличиваем количество сотрудников до +∞, что невозможно, поскольку в этом случае затраты на прием увольняющихся

превысят доход от работы, либо количество принимаемых уменьшится до нуля, что тоже невозможно т.к. это будет нестационарной точкой (или же при этом коли- чество работающих будет равно нулю). Таким образом, при заданном начальном

количестве работников посредством выбора s фирма должна перейти на седловую траекторию B èëè C. Существует несколько вариантов (см. рис. 7).

Рис. 7. Описание прихода системы в стационарное состояние: a) при c0 < cA; b) ïðè c0 > cA.

1.c0 =A. Выбором s = sA фирма сразу попадает в стационарное состояние

èпродолжает там находиться. То есть если на фирме уже работает количество

сотрудников, соответствующее точке A, то фирма уже находится в равновесной точке.

2. c0 < cA. В этом случае фирма перейдет на седловую траекторию, при этом количество принимаемых на работу будет больше, чем количество принимаемых на работу в стационарном состоянии (поскольку мы окажемся на траектории B,

а эта траектория ведет к состоянию A сверху вниз, слева направо). Со временем c будет увеличиваться, а s будет уменьшаться: фирма будет подходить к стацио-

нарному состоянию все ближе и ближе, при этом количество работающих сотрудников будет постепенно увеличиваться, а скорость приема на работу уменьшаться до стационарного.

3. c0 < cA. При этом возможны 2 варианта: седловая траектория C проходит через c0 ïðè s ≥ 0 или не проходит. Если проходит, то фирма выбирает s так, чтобы оказаться на данной седловой траектории, после этого c будет уменьшаться (запас сотрудников "проедаться" для получения сиюминутной прибыли), а s будет постепенно увеличиваться. Фирма будет подходить к стационарному состоянию.

135

Если же седловая траектория C не проходит через c0 ïðè s ≥ 0 (она успела уйти в область минусовых s), òî s становится равной нулю, и c естественным образом уменьшается до тех пор, пока не достигнет такого значения, чтобы фирма могла перейти на седловую траекторию. При этом s = 0, à c уменьшается. Начиная с момента перехода на седловую траекторию s постепенно увеличивается (по мере

подхода к стационарной точке A îò 0 äî s(A), à c уменьшается до cA). Таким образом, в данном случае фирма будет постепенно уменьшать количество работающих за счет "недостаточного"(т.е. меньшего, чем в стационарной точке) приема на работу, при этом скорость приема на работу будет увеличиватсья, а количество работающих уменьшаться. В определенных случаях может возникнуть ситуация, когда фирма никого не будет принимать на работу.

Рис. 8. Смещение стационарной точки при шоках: a) увеличение r; b) увеличение λ; c) увеличение θ.

Рассмотрим, что будет происходить с фирмой при шоках изменениях параметров (см. рис. 8). Будем интересоваться изменением стационарного состояния, поскольку процесс перехода из некоторого состояния в стационарное изучен выше.

Рассмотрим сперва случай изменения r. Предположим, что коэффициент дисконтирования r увеличился (в противном случае произойдут обратные изменения), т.е. мы стали больше ценить настоящее. При этом прямая θs − λc не изменится. Как поведет себя sˆ(c)? Данная кривая является решением уравнения 143

0 = (r + λ)g0(s) − θf0(c).

Íî åñëè r увеличился, то при фиксированном c значение s должно уменьшится для того, чтобы равенство осталось верным, поскольку (r + λ)g0(s) измениться не должно, r увеличился, а g0(s) увеличивается с увеличением s. Таким образом, как

136

видно из рисунка 8a), в новой стационарной точке c è s уменьшатся, т.е. и прием на работу, и количество работающих будет меньше, чем раньше.

Рассмотрим случай изменения λ. Опять предположим, что коэффициент λ увеличился, т.е. увеличилась скорость увольнения сотрудников. Повторяя предыдущие рассуждения, кривая сместится вниз. Но в данном случае произойдут изменения и с прямой θs − λc = 0 ее наклон увеличится. Как видно из рисунка, c при этом уменьшится, а об изменении s ничего сказать нельзя. С одной стороны

работников будет меньше, но с другой стороны и увольняться они будут чаще (т.е. неизвестно, как изменится скорость приема на работу).

При увеличении θ, т.е. при увеличении процента людей, принимаемых на работу, уменьшится наклон прямой θs−λc = 0. Однако для того, чтобы предсказать поведение кривой sˆ(c), необходимо сделать дополнительные предположения о зависимости функции fθ(c) îò θ. Если зависимости нет, то sˆ(c) как решение уравнения 143 должно сдвинуться вверх, т.е. в новой стационарной точке c увеличится, а s может измениться в любую сторону, т.е. работать на фирме будет большее ко-

личество людей, но ничего нельзя сказать о том, как изменится скорость приема на работу..

Результаты шоков (изменения параметров) сведены в таблицу (предполагаем отсутствие зависимости функции f(c) от параметра θ):

Таблица 8. Изменение стационарного состояния при действии различных шоков

Мы рассматривали случай с дисконтированием прибыли. В случае важности сиюминутной прибыли надо, разумеется, уменьшить до нуля количество принимаемых на работу (поскольку в настоящий момент времени это не приносит результатов), и извлекать прибыль из работающих.

Предположим теперь, что нам надо максимизировать везде, т.е. все будущее мы ценим одинаково. Таким образом, решаем задачу

Тогда s = λθ c (s è c не изменяются, следовательно их можно положить равными константе) и задача переписывается как

137

Обозначим решение данной задачи за E. Как относительно располагаются на фазовой плоскости точки A è E?

Прежде всего, в обоих случаях присутствует уравнение

Íî sˆ(c) решение уравнения 148 лежит ниже решения уравнения 143, и, сле-

довательно, sE < sA, cE < cA, а ситуация на фазовой плоскости эквивалентна ситуации увеличения коэффициента дисконтирования. И на самом деле, решая задачу 146 мы как бы предполагаем, что дисконтирования нет, т.е. что все времена мы одинаково ценим: и будущее, и настоящее.

Таким образом, в рассмотренном случае (когда мы одинаково ценим как будущее, так и настоящее), стационарная точка смещается вниз и влево, по сравнению со случаем с дисконтированием, т.е. как скорость приема на работу, так и коли- чество работающих (в неподвижной точке) падает.

138