Модели и методы управления составом активных систем - Караваев А.П.
.pdfПусть тип активного элемента имеет некоторое непрерывное распределение, сосредоточенное на отрезке действительной оси Ω = [r0, r1] с функцией распределения F (r), строго возрастающей и дифференцируемой на Ω. Тогда r = F (r)
будет иметь равномерное распределение на отрезке [0, 1] ò.ê.
P {r ≤ x} = |
P {F (r) ≤ x} = P {r ≤ F −1(x)} = |
= |
F (F −1(x)) = x, x [0, 1]. |
Определим функцию затрат c˜(r , x) = c(F −1(r ), x) (мы таким образом
"переопределили" тип активного элемента). Тогда по Лемме 2.1.2 и функция c˜(r , x) обладает всеми свойствами, которым должна удовлетворять функция за-
òðàò (P 2.1 P 2.5), поскольку этим свойствам удовлетворяет функция c(r, x).
Кроме того очевидно, что произведя обратную замену типов в оптимальной системе стимулирования для АС с функцией затрат c˜(r , x), мы получим оптималь-
ную систему стимулирования для функции затрат c(r, x). Ясно, что при соответ-
ствующих заменах типов все условия на выбор действий активными элементами сохранятся.
Следовательно мы показали верность следующего утверждения: Утверждение 2.4.1. Задача нахождения оптимальной функции стимулиро-
вания для случая произвольного распределения типов АЭ сводится к задаче нахождения оптимальной функции стимулирования для случая равномерного распределения типов АЭ. А именно, существует такая монотонная функция преобра- зования типов r0 = u(r), ÷òî òèïû ÀÝ r0 имеют равномерное распределение, и
оптимальная функция стимулирования при типах r0 является оптимальной функ- цией стимулирования при типах r.
Итак, на основании предыдущего утверждения мы будем в дальнейшем полагать,что типы активных элементов имеют одинаковое для всех элементов равно-
мерное распределение на множестве Ω = [r0, r1]:
P {r [r0, r ]} = |
( |
1− |
0 |
иначе. |
|
|
r −r0 |
ïðè r |
Ω; |
||
|
r |
|
r0 |
|
|
Каждый из активных элементов знает свой тип в то время, как центру типы имеющихся элементов неизвестны, и он вынужден руководствоваться вероятностным распределением.
В соответствии с (1.44)-(1.46) математически задача выписывается в виде двух задач:
|
|
|
|
E |
|
( |
f |
( |
r |
)) → f(r),σ(x) Θ задача центра |
|||||||||
(2.46) |
|
|
|
|
σ |
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|||||
(2.47) |
f |
( |
r |
) |
Argmax(σ(x) |
− |
c |
r, x |
)) |
|
r |
Ω |
ç. ÀÝ |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
( |
|
|
|
||||||||
(2.48) |
|
|
|
|
|
E f(r) = x¯ |
(граничное условие), |
||||||||||||
ãäå E обозначает математическое ожидание по типу активного элемента.
Мы будем решать задачу (2.47)-(2.48), считая, что задача (2.46) максимизации прибыли центром при решенной задаче агента является тривиальной задачей на максимизацию функции одного переменного (среднего действия).
51
Можно было бы предположить, что по функции f(x) можно восстановить наилучшую σ(x), при которой получается данная функция действия. Докажем этот факт. Для этого вспомним, что должно выполняться (2.47), или
(2.49) |
σ(f(r )) − c(r , f(r )) ≥ σ(f(r)) − c(r , f(r)) |
||||
|
|
|
|
r, r Ω; |
|
(2.50) |
σ(f(r )) − σ(f(r)) ≥ c(r , f(r )) − c(r , f(r)). |
||||
Пусть r |
> r. Разделим обе части неравенства (2.50) на положительное r − r è |
||||
возьмем предел при r → r . Получим: |
|
|
|||
|
σ0(f(r ))f0(r ) = lim |
σ(f(r )) − σ(f(r)) |
≥ |
||
|
|
r→r |
r − r |
||
|
lim |
c(r , f(r )) − c(r , f(r)) |
= c0 (r , f(r ))f0(r ), |
||
|
r − r |
||||
|
≥ r→r |
x |
|
||
или учитывая, что f0(r) > 0, получаем |
|
|
|||
(2.51) |
|
f0(r )σ0(f(r )) ≥ f0(r )cx0 (r , f(r )). |
|
||
Предположив r < r и проделав те же выкладки, мы получим обратное неравенство, т.е.
(2.52) |
f0(r )σ0(f(r )) ≤ f0(r )cx0 (r , f(r )), |
что вместе с (2.51) приводит к равенству |
|
(2.53) |
f0(r)σ0(f(r)) = f0(r)cx0 (r, f(r)) |
(в случае существования соответствующих производных). При выполнении дополнительного условия
|
r |
− |
c(r, f(r))) = 0 |
(2.54) |
min(σ(f(r)) |
|
(которое необходимо для решения задач 2.46-2.48, чтобы соответствующая функция σ(x) была оптимальной) мы получаем однозначное определение σ(x) ïî f(r)
(очевидно, что по σ(x) мы можем используя формулу (2.47) определить f(r)). Â ñèëó òîãî, ÷òî cx(r, x) > 0, функция σ(x) тоже должна монотонно возрастать (в точках возрастания значений функции f(r)).
Заметим: поскольку необходимым условием для того, чтобы элемент типа r выбирал действие является σ0(f(r)) = c0x(r, f(r)), то, рассмотрев разни-
öó σ(f(r)) − c(r, f(r)) и продифференцировав ее по r |
получим, что |
d |
(σ(f(r)) − |
dr |
|||
c(r, f(r))) = σ0(f(r))f0(r) − cx0 (r, f(r))f0(r) − cr0 (r, f(r)) |
= −cr0 (r, f(r)) > 0, òî åñòü |
||
лучший элемент получает большую прибыль (разность между стимулированием и затратами). Исходя из этого можно сказать, что для выполнения условия (2.54) необходимо и достаточно, чтобы σ(f(r0)) − c(r0, f(r0)) ≥ 0 (поскольку r1 > r0). Â частности, можно положить
(2.55) σ(f(r0)) = c(r0, f(r0)).
Таким образом, σ(x) определяется по f(r) в соответствии с дифференциальным уравнением (2.53) и граничным условием (2.55).
52
Пример 6. Пусть f(r) = r, c(r, x) = xr2 . Тогда c0x(r, x) = 2xr . По формуле (2.51)
σ0(f(r)) = σ0(r) = c0x(r, f(r)) = 2f(rr) = 2 и, следовательно, σ(x) = 2x + C. Константа C подбирается из условия (2.54), для выполнения которого необходимо и
достаточно, чтобы было выполнено (2.55), т.е. σ(f(r0)) = c(r0, f(r0)). В данном случае 2r0 + C = r0, то константа C = −r0.•
Рассмотрим задачу, фиксирующую средний выпуск на уровне x¯. Тогда зада- ча о нахождении оптимальной функции стимулирования (которая определяется одновременно с функцией f(x)) выглядит следующим образом:
(2.56) |
E |
σ |
( |
f r |
min |
|
|
( )) → |
σ(x),f(r) |
||
при выполнении условий: |
|
|
|
|
|
(2.57) |
|
|
E f(r) = x,¯ |
||
(2.58) |
σ0(f(r)) = cx0 (r, f(r)), |
(2.59) |
|
σ(f(r0)) = c(r0, f(r0)), |
||||
ãäå E обозначает математическое ожидание. |
|
|
||||
Заметим: |
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
r1 |
r1 |
|
|
|
Z |
|
|
− Z |
|
|
(2.60) |
σ(f(r)) dr = rσ(f(r)) r0 |
rσ0(f(r))f0(r) dr = |
||||
|
r0 |
|
|
|
r0 |
|
|
|
r1 |
r1 |
|
|
|
|
|
− Z |
|
|
|
|
|
|
= rσ(f(r)) r0 |
rcx0 (r, f(r))f0(r) dr; |
|||
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
(2.61) |
rZ0 |
rcx0 (r, f(r))f0(r) dr = |
|
|
||
r1
Z
= r dc(r, f(r)) dr
− c0r(r, f(r)) d r =
r0 |
|
|
|
r1 |
r1 |
r1 |
|
− Z |
rcr0 (r, f(r))d r − Z |
|
|
= rc(r, f(r)) r0 |
c(r, f(r))d r. |
||
|
r0 |
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того,
53
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
||
(2.62) |
|
rσ(f(r)) r0 |
= r1σ(f(r)) r0 |
+ (r1 − r0)σ(f(r0)) = |
||||||||||
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= r1 rZ0 |
σ0(f(r))f0(r) dr + (r1 − r0)c(r0, f(r0)) = |
|||||||||||
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− cr0 (r, f(r)) dr + |
|||
|
|
= r1 rZ0 |
dc( |
r, f |
( |
r |
)) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dr |
|
|
|
||||||||
|
|
+(r1 − r0)c(r0, f(r0)) = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
r1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
− r1 Z |
|
|
||||||
|
|
= r1c(r, f(r)) r0 |
|
cr0 (r, f(r)) dr + |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(r1 |
− |
r0)c(r0, f(r0)) = |
||||||||||
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
= rc(r, f(r)) r0 |
− r1 |
cr0 (r, f(r)) dr. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объединяя (2.60)-(2.62), получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.63) |
(r1 − r0) E σ(f(r)) = rZ0 |
rcr0 (r, f(r)) − r1cr0 (r, f(r)) + c(r, f(r)) dr = |
||||||||||||
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
((r − r1)cr0 (r, f(r)) + c(r, f(r))) dr = |
||||||||||||
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZZ
=c(r, f(r)) dr + (r − r1)c0r(r, f(r)) dr.
r0 r0
Можно заметить, что первый интеграл в последнем выражении отвечает за стимулирование при персонифицированной системе стимулирования с функцией
действия f(r), а во втором интеграле подынтегральное выражение всегда больше
íóëÿ ò.ê. r ≤ r1, à c0r(r, x) < 0 и равно величине переплат активным элементам за использование неунифицированной системы стимулирования при функции дей-
ствия f(r).
Как можно заметить, в минимизируемом выражении мы избавились от функции σ(x), и теперь минимизацию можно проводить только по одной функции
ïî f(x). Итак, нам надо минимизировать интеграл (2.63) при ограничении (2.57). Сделаем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа:
(2.64) |
L = E σ(f(r)) − λ(E f(r) − x¯) = |
||||
|
= r1 |
|
r1 |
||
|
− r0 rZ0 |
((r − r1)cr(r, f(r)) |
|||
|
|
|
1 |
|
|
+c(r, f(r)) − λf(r)) dr + λx¯.
54
Необходимым условием для минимизации (2.64) является выполнение условия Эйлера (см. [72]):
(2.65) |
∂ |
(rcr(r, f(r)) − r1cr(r, f(r)) + c(r, f(r)) − λf(r))) = 0, |
|
||
∂f |
||
èëè |
|
|
(2.66) |
|
(r − r1)cxr(r, f(r)) + cx(r, f(r)) = λ. |
Константа λ находится из условия E f(r) = x¯. Заметим, что для случая затрат вида c(r, x) =
обретает вид
c(x)
r
+ C уравнение (2.66) при-
(2.67) |
−r1cxr(r, f(r)) = λ. |
Теперь алгоритм нахождения оптимальных функций стимулирования и действия можно записать в следующем виде:
(1)Используя дифференциальное уравнение (2.66) (или в частном случае 2.67), находим функцию f(r) в зависимости от константы λ > 0 (как множитель Лагранжа в задаче минимизации при ограничении E f(r)−x¯ ≥ 0);
(2)Находим значение λ из условия E f(r) = x¯, ãäå E f(r) вычисляется по формуле (2.63);
(3)Çíàÿ f(r), находим функцию стимулирования σ(x), используя диффе-
ренциальное уравнение (2.66) и граничное условие (2.55) σ(f(r0)) = c(r0, f(r0)).
Заметим, что для функций затрат вида c(r, x) = |
g(x) |
|
r |
||
|
+ C сумма двух слагае-
ìûõ â (2.66) rcxr(r, f(r)) + cx(r, f(r)) = 0 и необходимое условие минимума (2.56) переписывается в более простом виде:
(2.68) |
−r1cxr(r, f(r)) − λ = 0. |
В этом случае |
|
(2.69) |
λ = −r1cxr(r, f(r)) |
и минимальные средние затраты на стимулирование равны
(2.70) |
E σ(f(r)) = −r1 |
|
r1 |
r1cr0 (r, f(r)) dr. |
|
− r0 rZ0 |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
Таким образом, мы доказали следующее утверждение (в предположении функции затрат вида c(r, x) = c(rx) + C):
Утверждение 2.4.2. Если функция f(r) является функцией действия для оптимальной функции стимулирования, то на всех участках возрастания функции
выполняется следующее дифференциальное соотношение:
(2.71) |
λ = −cxr(r, f(r)), |
55
ãäå λ некоторая неотрицательная константа. При этом средние затраты на стимулирование равны
(2.72) |
|
r1 |
rmaxcr0 (r, f(r)) dr, |
E σ(f(r)) = −rmax − rmin rZ0 |
|||
|
1 |
|
|
ãäå rmax è rmin - соответственно нижняя и верхняя границы интервала, на котором
сосредоточено равномерное распределение типов АЭ.
Пример 7. Рассмотрим функцию затрат c(r, x) = xr2 . Исходя из (2.68), имеем:
|
|
|
f(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
λ = −r1cxr(r, f(r)) = 2r1 |
|
|
è |
f(r) = λ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
r2 |
2r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Коэффициент λ находится из условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
rZ0 |
f(r) dr = (r1 − r0)¯x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
r |
2 |
|
|
|
|
λ r |
3 |
|
r1 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Z |
λ |
|
|
dr = |
|
|
|
r0 |
= |
|
(r1 |
− r0)λ |
= (r |
1 − |
r |
)¯x, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2r1 |
|
2r1 3 |
|
|
|
6r1 |
|
0 |
|
||||||||||||||||||
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
òî åñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
6r1x¯(r1 − r0) |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
r13 − r03 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
f(r) = λ |
|
= |
3¯x(r1 − r0) |
r2 |
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2r1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r13 − r03 |
|
|
|
|
||||||||
Тип активного элемента в зависимости от реализуемого им действия есть
|
r = f−1(x) = s |
|
x r13 |
|
r03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(2.73) |
|
|
|
− |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3¯x |
r1 − r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
cx(r(x), x) = 2 |
|
|
x |
= 2√ |
|
|
|
|
|
3¯x(r1 − r0) |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
(2.74) |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
r13 |
− |
r03 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Используя (2.53), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
σ(x) − σ(f(r0)) = |
|
Z |
cx(r(y), y) dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(r0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
y2/3 |
f(r0) |
= 2 |
|
|
|
3¯x(r1 − r0) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
r13 |
− |
r03 |
|
|||||||||||||||
и, поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cr(r, f(r)) = |
|
|
|
|
|
r2 |
3¯x(r1 − r0) |
|
r2 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r13 − r03 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
r2 |
|
3¯x(r1 − r0) |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
функция стимулирования равна |
|
|
|
|
|
r13 − r03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(2.75) |
σ(x) = c(r0, f(r0)) + |
|
|
|
|
3¯x(r1 − r0) |
|
|
x3/2 |
− |
f(r0)3/2 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3s |
|
r13 |
− |
r03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
56
Средние затраты на стимулирование равны
(2.76) |
C1 |
= E σ(f(r)) = −r1 |
|
|
r1 |
r1cr(r, f(r)) dr = |
||||
− r0 rZ0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3(¯x)2 |
r1(r1 − r0) |
|
= 3¯x2 |
|
|
r1 |
. |
|
|
|
r13 − r03 |
r12 + r1r0 + r02 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Заметим, что при r0 → r1 математическое ожидание затрат
x¯2 E σ(f(r)) → r1 ,
чего и следовало ожидать (вырожденный случай является пределом непрерывного равномерного распределения).
Оценим потерю эффективности при переходе к унифицированной системе стимулирования. А именно, используя результаты о персонифицированной системе
стимулирования (см. [33], значение C0 затрат для реализации того же среднего действия при использовании персонифицированной функции стимулирования) получаем, что
C1 |
= |
3r1(r1 − r0)¯x2/(r13 − r03) |
= |
|
r13(r1 + r0) |
|
= |
|
|
|
|
2(r12 + r1r0 + r02) |
|||||
C2 |
|
2¯x2/(r1 + r0) |
|
|||||
|
|
1 + |
1 + α − 2α2 |
≥ |
1, |
|
|
|
|
|
2(1 + α + α2) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
ãäå α = r0/r1 [0, 1]. Последнее неравенство следует из того, что α2 ≤ α ≤ 1. Заметим, что равенство возможно только тогда, когда α = 1, т.е. r0 = r1. Отметим,
÷òî C1 строго убывает по α.•
C2
Ранее нами была доказано утверждение о выполнении равенства
(2.77) f0(r)σ0(f(r)) = f0(r)c0x(r, f(r)).
Очевидно, что при отличии f0(r) от нуля мы можем обе части разделить на f0(r) и получить равенство
(2.78) σ0(f(r)) = c0x(r, f(r)).
В следующем утверждении говорится о том, что данное соотношение верно даже в том случае, если производная f(r) равна нулю.
Утверждение 2.4.3. Если функции σ(x) и f(r) являются решениями зада- чи (2.46)-(2.48), и существует последовательность ri > r ,
lim ri = r , lim f(ri) = f(r ),
i→∞ i→∞
то функция σ(x) имеет правую производную в точке f(r ) и она равна
σ0(f(r )+) = c0x(r , f(r ))
Если же существует последовательность ri < r ,
lim ri = r , |
lim f(ri) = f(r ), |
i→∞ |
i→∞ |
то функция σ(x) имеет левую производную в точке f(r ) и она равна
σ0(f(r )+) = c0x(r , f(r )).
57
Итак, кратко подведем итоги второй главы.
Âданной главе решается задача синтеза оптимальных унифицированных систем стимулирования.
Âразделе 2.1 рассматриваются свойства возможных производственных функций АЭ, под которыми понимается зависимость выбранного действия от типа АЭ
èзатрат.
Âразделе 2.2 для случая унифицированных систем стимулирования введена функция действия, которая сопоставляет каждому типу АЭ действие, которое он выбирает при использовании данной функции стимулирования, и найдена взаимосвязь между функциями действия и функциями стимулирования. Описаны основные свойства функции действия.
Âразделе 2.3 приводится решение задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования для дискретной АС. Оптимальной называется функция стимулирования, при которой затраты на реализацию некоторого фиксированного действия (или среднее действие в непрерывном случае) минимальны.
Приведен и обоснован алгоритм поиска оптимальной системы стимулирования для АС с конечным числом АЭ. Исследуется вопрос использования центром распределения вероятностей на множестве унифицированных функций стимулирования.
Найдены свойства оптимальных функций стимулирования: дифференциальные уравнения, описание реализуемых действий, их возрастание и убывание.
Âразделе 2.4 рассматривается задача поиска оптимальной унифицированной системы стимулирования для непрерывного случая (когда АС состоит из континуума различных АЭ). Приведен алгоритм синтеза оптимальной функции стимулирования, основанный на найденном дифференциальном соотношении.
Алгоритмы синтеза оптимальной функции стимулирования для двух рассмотренных АС различаются тем, что для АС с конечным числом АЭ для нахождения оптимальной функции стимулирования необходимо решать дифференциальные уравнения, связывающие действия наилучшего АЭ с действиями других АЭ, а для случая бесконечного числа АЭ необходимо решить одно дифференциальное уравнение на оптимальную функцию действия (и потом исходя из этой функции действия найти оптимальную функцию стимулирования).
Данное исследование было необходимо для решения задачи формирование состава исполнителей АС.
58
Глава 3
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ СОСТАВА ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
Âнастоящей главе на основании проведенного во второй главе исследования оптимальных функций стимулирования (задача управления при фиксированном составе) рассматриваются вопросы управления (исполнительным) составом АС множеством АЭ.
3.1.Динамическое формирование состава исполнителей
Âнастоящем разделе рассматривается задача динамического формирования состава. В динамике большую роль играют ожидания о будущих изменениях в составе АС и коэффициент дисконтирования. Именно, сегодняшнее решение о приеме на работу или увольнении зависит от ожидания будущих прибылей, или от ожидания увеличения прибыли за счет изменения состава АС.
Обозначим за β временной коэффициент дисконтирования системы. Тогда, если в каждый из периодов времени фирма получает прибыль πi(Si), ãäå i =
0, 1, . . . время, и Si состав фирмы в период времени i (состав является слу- чайной величиной, значение которой зависит от проводимой фирмой политики формирования состава), то задачей фирмы является максимизация функционала
∞!
|
Xi |
|
L = E |
βiπi(Si) |
, |
|
=0 |
|
ãäå E обозначает математическое ожидание по всем возможным составам и после-
довательность составов Si согласована. Функция распределения составов определяется политикой формирования состава:
P (Si|si−1) = F (si−1, u)(Si),
ãäå F (·, ·) некоторая (вероятностная) функция, а u управляющая переменная, которую выбирает фирма при решении задачи управления составом. Будем предполагать, что F не зависит от состава до момента времени i − 1.
Мы будем использовать при исследовании модель функционирования АС, рассмотренную во второй главе. Будем предполагать, что в каждый момент времени фирма использует оптимальную функцию стимулирования, которая может зависеть от времени и от текущего состава исполнителей. Будем считать, что функции стимулирования между собою никак не связаны (кроме того факта, что являются оптимальными). Очевидно, что наилучшей политикой фирмы будет в каждый момент времени использовать наилучшую функцию стимулирования (т.е. оптимальную), изменяя ее в зависимости от имеющегося состава. Так же очевидно, что если состав со временем не изменяется, то точно так же не изменяется и функция
59
стимулирования, поскольку она (в связи с результатами главы 2) зависит исключи- тельно от состава исполнителей, т.е. от их производственных характеристик.
Основное утверждение, на котором основываются результаты данного раздела главы, формулируется следующим образом.
Утверждение 3.1.1. При улучшении типа любого из АЭ не может произойти увеличения оптимальных затрат центра на стимулирование или уменьшение его прибыли.
На самом деле (что видно из доказательства), если действие АЭ совпадает с соседними (следующим и предыдущим), то при небольшом улучшении типа данного АЭ не произойдет уменьшения оптимальных затрат. И наоборот, при улучшении типа АЭ, действие которого не совпадает по крайней мере с одним из соседних АЭ, произойдет уменьшение затрат на реализацию фиксированного агрегированного действия.
В соответствии с утверждением 3.1.1 мы можем заключить, что наилучшей стратегией по управлению составом является следующая: при наличии АЭ, тип которого превосходит тип наихудщего АЭ, произвести замену наихудшего АЭ на данный. В случае же, если есть возможность принять на работу нового сотрудника без увольнения старых, необходимо, оставляя прежний состав, принимать новых сотрудников, поскольку (в соответствии с утверждением 2.3.4) наихудший АЭ при оптимальной системе стимулирования будет выбирать ненулевое действие, что говорит от том, что он в системе не будет "лишним", т.е. его не надо увольнять (иначе при оптимальной системе стимулирования он бы выбирал нулевое действие, т.е. бездействовал).
Если же мы предположим, что количество сотрудников ограничено, то набор будет проходить следующим образом: в случае, если тип нового сотрудника лучше, чем тип наихудшего сотрудника в АС, то он будет заменен.
Если фирма будет состоять только из агентов с наилучшими возможными типами, то процесс подбора персонала остановится, иначе же он будет продолжаться (если только нет платы за изменение состава сотрудников).
Усложним модель: предположим теперь, что количество сотрудников ограни- чено и для приема новых сотрудников места должны быть вакантны, т.е. нельзя сначала узнать типы новых сотрудников, и потом принимать решение об увольнении старых сотрудников. Кроме того, будем рассматривать динамические модели,
в которых будущая прибыль дисконтируется с коэффициентом β, т.е. умножается на β в степени времени до момента получения прибыли.
Достаточно очевидным представляется следующее утверждение: Утверждение 3.1.2. Для любой АС с несколькими АЭ существует такое r0,
зависящее от текущего состава АС и коэффициента дисконтирования β, что в текущий момент времени увольняются все АЭ с типом менее r0 .
Очевидно, что в каждый конкретный момент времени необходимо увольнять наихудших сотрудников, оставляя только наилучших, таким образом параметр r0
60