Тема 6. Актуарные расчеты

*6.1 Сущность актуарных расчетов

Актуарными расчетами называют систему математических и статистических методов используемых в процессе исчисления страховых тарифов. В широком смысле это расчеты связанные с определением стоимости страховых услуг.

Актуарные расчеты позволяют решать следующие задачи:

1. Исчисление математической вероятности наступления страхового случая, определение частоты и тяжести последствий как в отдельных рисковых группах, так и в целом по страховой совокупности

2. Исследование и группировка рисков т.е. классификация страховых рисков

3. Математическое обоснование страхового тарифа и страховых резервов

Методы актуарных расчетов основаны на теории вероятностей математической статистики, демографии и финансовой математике.

*6.2 Расчет страховых тарифов по рисковым видам страхования

Согласно методике расчета тарифных ставок

, где

Т_н – нетто-ставка, она предназначена для формирования страхового фонда, используемого для текущих страховых выплат и создания страховых резервов

Т₀ – основная часть нетто-ставки, обеспечивающая страховщика средствами для текущих выплат и формирования страховых резервов, связанных со средней суммой убытков

Т_Р – рисковая надбавка, предназначенная для покрытия возможного увеличения выплат в отдельные неблагоприятные периоды

Величина Т₀ зависит от вероятности наступления страхового случая (р), средней страховой суммы ( ) и среднего возмещения ( ):

, где

q – убыточность страховой суммы

К_ТУ – коэффициент тяжести ущерба

Рисковая надбавка вычисляется по формуле:

, где

- коэффициент гарантий безопасности страховщика, который зависит от вероятности

Значения коэффициента гарантии безопасности страховщика:

	0,84	0,9	0,95	0,98	0,9986
	1	1,3	1,645	2	3

Коэффициент гарантии означает, что страховщик с вероятностью предполагает обеспечить не превышение общей суммы выплат над суммой собранных премий по данному виду страхования

Брутто-ставка рассчитывается по формуле:

, где

f – доля нагрузки в брутто-ставке

Нагрузка обеспечивает поступление средств для покрытия расходов на ведение дела по страховым операциям, а также для формирования фонда предупредительных мероприятий и плановой прибыли.

Брутто-ставка (тарифная ставка, страховой тариф) представляет собой процентную ставку от страховой суммы, по которой рассчитывается страховой взнос

Для расчета нагрузки используется формула:

- сумма фактической страховой премии, собранной страховщиком по данному виду страхования за 1 – 2 года

- сумма выплаченного страхового возмещения за тот же период (1 – 2 года)

Структура нагрузки определяется из сложившегося соотношения включаемых в нее расходов. Например, при добровольном страховании от несчастных случаев она может быть следующей: f = 30%. Общая величина нагрузки 30%, из них 25% на ведение дела, 2% - отчисления в резерв предупредительных мероприятий, 3% - прибыль. При обратном страховании пассажиров на ж/д транспорте величина нагрузки составляет 94% из них 3% - расходы на ведение дела, 91% - отчисления в резерв предупредительных мероприятий.

*6.3 Основы построения тарифов по страхованию жизни

Предметом страхования является дожитие застрахованного до окончания срока страхования или смерть в течении этого времени. Кроме того может быть проведено страхование на случай потери здоровья в результате несчастного случая.

Продолжительность жизни отдельного человека – это случайная величина, она колеблется в достаточно широких пределах. Анализ данных демографической статистики позволяет вывести зависимость вероятности наступления рискового события (дожития ли смерти) от возраста и пола человека.

Показатели, характеризующие доживаемость и смертность при переходе от одного возраста к другому, сведены в таблицу смертности.

Таблица смертности – упорядоченные ряды взаимосвязанных величин, зависящих от уменьшения в результате смертности некоторой совокупности людей, состоящей из 100000 новорожденных

В таблице содержатся данные, которые для любого возраста х-лет показывают число доживающих до этого возраста l_x из первоначальной совокупности l₀ = 100000, там же приведено число умирающих d_x = l_x – l_x+n при переходе от возраста х к возрасту x+n лет.

Помимо этой информации таблицы смертности могут содержать сведения о средней продолжительности оставшейся жизни, а также следующие расчетные показатели:

1. Вероятность смерти (q_x) при переходе от возраста х к возрасту х+1 лет

2. Вероятность дожития (Р_х) лица возраста х лет до возраста х+1 лет

Располагая таблицей смертности страховщики могут сосчитать ряд показателей напрямую связанных с тарифами по страхованию жизни:

1. Вероятность дожития (_nP_x) лица возраста х лет с момента заключения договора до его окончания через n лет

2. Вероятность умереть (_nq_x) в течении предстоящих n лет

3. Вероятность умереть (n/q_x) на n-году действия договора

При страховании жизни страховщику, исходя из предстоящих через n лет выплат, необходимо определить будущую через n лет стоимость страхового фонда. Он должен рассчитать какой размер взноса на момент заключения договора должен уплатить страхователь, чтобы к концу срока страхования страховщик имел достаточную для выплат сумму средств. Другими словами требуется найти современную приведенную стоимость будущей выплаты т.е. осуществить дисконтирование

, где

PV – приведенная стоимость;

S – будущая стоимость;

- коэффициент дисконтирования;

i – годовая норма доходности в процентах. Ее появление связано с тем, что в течении срока страхования страховщик инвестирует временно свободные средства и получает с них определенный доход;

n – срок страхования;

- коэффициент дисконтирования (дисконтирующий множитель) для 1 года

Коэффициент дисконтирования показывает какую долю от величины страхового фонда S, предусмотренного к получению через n лет при норме доходности i, необходимо уплатить страхователю в виде нетто-премии в начале страхования.

В практике расчетов страховых тарифов используют специальную таблицу, содержащую значения коэффициента дисконтирования при различных нормах доходности и количества лет страхования жизни. Чем выше норма доходности, тем меньше страховой взнос должен уплатить страхователь

Смешанное страхование жизни предусматривает одновременное страхование двух и более рисков связанных:

- с дожитием застрахованного до оговоренного возраста;

- со смертью во время действия договора страхования;

- с утратой здоровья в связи с несчастным случаем

Структура брутто-ставки по смешанному страхованию жизни:

Уплата страховых взносов может осуществляться единовременно (при заключении договора) или в рассрочку (в течении всего срока страхования).

Расчет единовременной нетто-премии на дожитие рассчитывается по формуле:

При расчете единовременной нетто-премии при страховании на случай смерти используется формула:

Для упрощения актуарных расчетов используются приведенные в таблицу коммутационные числа: D_x, N_x, C_x, M_x

Используя коммутационные числа можно получить следующие формулы для расчета единовременной нетто-ставки:

1. На дожитие

2. На случай смерти

При одновременном покрытии риска дожития и риска смерти нетто-ставка рассчитывается по формуле:

Для исчисления годичных ставок применяют специальный коэффициент рассрочки.

При использовании коммутационных чисел формула для коэффициента рассрочки будет иметь вид:

Расчетные значения (_na_x) имеются в специальных таблицах.

Для определения годичной ставки необходимо величину единовременной нетто-ставки разделить на коэффициент рассрочки:

Расчет нетто-ставки на случай утраты трудоспособности (У) осуществляется по формулам рискового страхования:

Суммарная нетто-ставка по смешанному страхованию жизни рассчитывается по формуле:

Анализ нетто-ставок по смешанному страхованию жизни позволяет сделать следующие выводы:

1. Нетто-ставка тем ниже, чем моложе застрахованное лицо и длиннее срок страхования

2. Нетто-ставка на дожитие с увеличением возраста постепенно снижается, а на случай смерти – увеличивается

21