7.2. Стаціонарна течія рідини. Рівняння нерозривності.

Нестислива рідина, в якій повністю відсутнє внутрішнє тертя (в’язкість), називається ідеальною. Течія рідини вважається стаціонарною, якщо в кожній її точці вектор швидкості руху рідини постійний.

Рух рідини можна зобразити за допомогою ліній течії. Це такі лінії, дотичні до яких співпадають з напрямом векторів швидкості руху окремих частинок рідини. Частину рідини, що обмежена лініями течії, називають трубкою течії.

П

62

ри стаціонарній течії нестисливої рідини її об’єм, що втікає в трубку течії за одиницю часу через переріз S₁, дорівнює об’єму рідини, що витікає через переріз S₂ цієї ж трубки (див. рис. 7.3):

Рис. 7.3.

Q₁ = Q₂ , (7.5)

Ці об'єми рідини дорівнюють:

Q₁ = V₁ S₁ t ,

Q₂ = S₂ V₂ t ,

де V₁, V₂ - швидкість течії рідини в перерізах S₁ і S₂, t - час.

Підставивши ці значення у рівняння (7.5), отримаємо:

S₁ V₁ = S₂ V₂ ,

Перерізи S₁ та S₂ ми вибрали довільно, тому маємо право стверджувати, що для будь-якого перерізу трубки течії рідини виконується наступне співвідношення, яке отримало назву рівняння нерозривності:

S V = const , (7.6)

Згідно з цим рівнянням добуток швидкості руху стаціонарної течії нестисливої рідини на площу перерізу, де ця швидкість визначалась, є для даної трубки течії величиною постійною. Цей добуток в системі СІ має розмірність [м³/с] і являє собою об’ємну витрату рідини чи газу.

7.3. Рівняння Бернуллі.

Розглянемо трубку течії ідеальної рідини, яка обмежена перерізом S₁ і S₂, що знаходяться на висотах h₁ і h₂ над рівнем горизонту (див. рис. 7.4).

Нехай у даний момент часу на перерізі S₁ швидкість течії рідини дорівнює V_1, а зовнішній тиск - Р₁. На перерізі S₂ швидкість течії рідини - V₂ , а зовнішній тиск Р₂. Протягом часу t переріз S₁ зміщується вздовж трубки течії на відстань L₁, а переріз трубки течії S₂ - на відстань L_2.

Згідно з законом збереження енергії зміна повної енергії ідеальної рідини буде дорівнювати роботі зовнішніх сил по переміщенню

Рис. 7.4.

д

63

еякої маси рідини:

А = Е₂ - Е₁ , (7.7)

де Е₂ і Е₁ - повна енергія рідини масою m в перерізах S₁ та S₂.

Роботу А можна визначити як роботу, що виконують зовнішні сили при переміщенні рідини по трубці течії за деякий час t:

А = А₁ + А₂ , (7.8)

Значення енергій, що входять у вираз (7.7), дорівнює:

Роботи А₁ та А₂ визначимо як добуток сили на переміщення:

,

,

Робота А₂ має від’ємний знак тому, що тиск Р₂ має напрямок протилежний течії рідини.

Згідно з законом збереження енергії робота зовнішніх сил (7.8) дорівнює зміні повної енергії системи (7.7). Тобто:

А₁ + А₂ = Е₂ - Е₁ ,

Або:

А₁ + Е₁ = Е₂ - А₂ ,

Підставивши у це рівняння значення відповідних функцій, отримаємо:

(7.9)

Рівняння нерозривності (7.6) у нашому випадку має вигляд:

Q = V₁ S₁ t = S₂ V₂ t ,

Д

64

алі поділимо рівняння (7.9) на значення Q та, враховуючи, що відношення m/Q, дорівнює густині рідини , отримаємо:

58

,

Перерізи трубки течії S₁ та S₂ нами приймалися довільно, тому маємо право записати в загальному вигляді:

, (7.10)

Рівняння (7.10) вперше встановлено російським фізиком Д.Бернуллі (1700-1782) і отримало назву рівняння Бернуллі.

Параметр Р у рівнянні Бернуллі називається статичним тиском, параметр gh - гідростатичним тиском, а параметр 0,5 V² - гідродинамічним тиском.